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[不等式] 两个最值

已知$a,b,c$是非负实数,且$S=a+2b+3c,T=a+b^2+c^3$。
(1)求$T-S$的最小值;
(2)若$S=4$,求$T$的最大值。
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(1)b^2+1>=2b,c^3+1+1>=3c;

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(2)由 S=4 知 b<=2, c<=4/3<√3,故 b^2<=2b, c^3<=3c,所以 T<=S=4,当 a=4,b=c=0 或 b=2,a=c=0 取等。

真无趣…………

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本帖最后由 isee 于 2021-10-14 22:06 编辑

回复 3# kuing


    这是最近全国高中数学联合竞赛初赛B1加试第一题,哈哈哈哈哈哈

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回复 4# isee

纳尼???

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回复 5# kuing



试卷,自己看 https://www.gaokzx.com/c/202109/55976.html




数学联赛:在每年9月中旬的第一个周日举行。目前联赛有一试、二试(加试)两场,同时还分为A卷和B卷。

联赛试题AB两套试卷主要是根据省份进行划分。浙江,江苏,河北,湖南,湖北,北京,上海,广东等绝大多数省份使用A卷;极少数偏远地区则使用B卷。B卷偏重对计算能力的考察,对思维方面的考察略低。由此可以看出北京赛区是使用A卷。

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回复 6# isee

好吧

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本帖最后由 lemondian 于 2021-10-15 14:24 编辑

修改一下:
问题(1):已知$a,b,c$是非负实数,$a+2b+3c=4.$求$a+b^2+c^3$的最值。

能不能推广一下呢?
问题(2):已知$a_k\geqslant 0(k=1,2,\cdots ,n),\sum_{k=1}^nka_k=m$.求$\sum_{k=1}^na_k^k$的最值。

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显然乱改是没得玩嘀

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回复 9# kuing
101501.jpg
2021-10-15 16:40

我在网上看到的,但不会求

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回复 8# lemondian

问题(2)我是从这个题改的,不知能否推广(或在某些情况下推广)?
已知$a,b,c$是非负实数,$a+b^2+c^3=9.$求$a+2b+3c$的最值。

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我在网上看到的,但不会求
lemondian 发表于 2021-10-15 16:41
这个下界也没什么难度啊,消 a 变成:
b,c>=0, 2b+3c<=4,求 f(b,c)=4-2b-3c+b^2+c^3 最小。
求导知 f(b,c) 的极值点是 (1,±1),都不在可行域内,所以最小值一定在边界上。
于是只要分别求出 f(0,c), f(b,0), f((4-3c)/2,c) 的最小值即可。
易知前两个的分别为 2 和 3,第三个变成 (4-3c)^2/4+c^3 求导知 `c=(\sqrt{41}-3)/4` 时取最小值,结果就是图上那个,它比 2 小,所以最小值就是它。

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回复  lemondian

问题(2)我是从这个题改的,不知能否推广(或在某些情况下推广)?
已知$a,b,c$是非负实数,$a+b^2+c^3=9.$求$a+2b+3c$的最值。
lemondian 发表于 2021-10-15 16:46
最大值:$a+2b+3c\le a+b^2+1+c^3+1+1=12$,当 $a=7$, $b=c=1$ 取等;

最小值:
若 $c>2$,则 $a+2b+3c>6$;
若 $c\le2$,则 $3c\ge c^3$,显然 $b\le3$,故 $a+2b+3c\ge a+2b+c^3=9-b^2+2b=10-(b-1)^2\ge6$,当 $a=c=0$, $b=3$ 时取等。
综上,最小值为 6。

推广啥的你自己搞吧,我感觉没什么意思。

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回复 12# kuing
这个看不懂哩

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那就没办法了

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回复 12# kuing
101701.jpg
2021-10-17 23:54

终于来一个可以看得懂一些的了,
但好象还是有问题呀(图中红色部分处)
应该是$f(b,1)=1+(b-1)^2$
另外,当$c=1$时,由$a+2b+3c=4$,可得$a+2b=1$,此时$b\in[0,1/2]$,所以$f(b,1)$的最小值应该是$5/4$呀。
@kuing

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回复 16# lemondian

沉了。。。

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