本帖最后由 isee 于 2021-11-14 15:28 编辑
回复 6# isee
这题——南开中学高一数学期中第16题——与主楼太像了，其次与 二元高次 有一脉相承的感觉.
如果还如主楼一般操作 $\frac 1x+\frac 1y=t$，(消 $x$) 最后得到的是关于 $y$ 的四次五项式 $y^4-t^3y^3+5t^2y^2-8ty+4=0$，没那么幸运了.
不过，将结果齐次化倒是容易的 $\frac 1x+\frac 1y=\frac {x+y}{xy}\cdot \frac {(xy)^3}{(x-y)^2}=\frac {(x+y)xy}{(x-y)^2}$，随后细节上的处理还需要小心.
本楼用换元+待定系数法试试.
设 $1/x=a, 1/y=b$，则题重述为：$a,b>0$，$ab(a-b)^2=1$，则 $a+b$ 的最小值为_____.
这样一看就顺眼多了：
$$4=\left(2\sqrt 2-2\right)a\cdot \left(2\sqrt 2+2\right)b\cdot (a-b)^2\leqslant \left(\frac {2\sqrt 2(a+b)}4\right)^4,$$
取 “=” 时，$a=\frac {2+\sqrt 2}2 ,b=\frac {2-\sqrt 2}2$.
另外，相对简法的写法是$$\frac 1{ab}=(a-b)^2=(a+b)^2-4ab\iff (a+b)^2=\frac 1{ab}+4ab\geqslant 4,$$取 “=” 略. |
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发表于 2021-9-18 09:48
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发表于 2021-9-18 11:12
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