本帖最后由 isee 于 2021-9-15 13:18 编辑
最近在知论遇到不少可以直接用权方和不等式等等来解决一些竞赛中最入门的不等式,这肯定是受 kuing 的影响了,硬生生的学会了一些~~可能不是最佳的,但可以解了~~感谢坛主及各位~
如今天又遇到一个:当$a,b,c$为正实数,求证:$\frac {a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}\geqslant a^3+b^3+c^3$.
最开始的证明:
由式子的对称性(这里的对称性应该没用,此时就划掉了),不妨设 $a\geqslant b\geqslant c>0$,则
$$\frac 1{a^2}\leqslant \frac 1{b^2}\leqslant \frac 1{c^2},$$$$c^5\leqslant b^5\leqslant a^5,$$ 则由排序不等式知(乱序和不小于反序和)
$$\frac {a^5}{b^2}+\frac {b^5}{c^2}+\frac {c^5}{a^2}\geqslant a^5\cdot \frac {1}{a^2}+b^5\cdot \frac {1}{b^2}+c^5\cdot \frac 1{c^2}=a^3+b^3+c^3.$$
下面有评$a\geqslant c\geqslant b$,怎么办?
我想了想,虽然 $\left\{\frac 1{a^2},\frac 1{b^2},\frac 1{c^2}\right\}$与 $\left\{c^5,b^5,a^5\right\}$ 同序,但是排序不等式实际所用者并不多,会有争议,此外该问题应该不是竞赛题,故重新给出一个相对麻烦的证明.
由柯西不等式有
\begin{align*}
\frac {a^5}{b^2}+\frac {b^5}{c^2}+\frac {c^5}{a^2}&=\frac {a^6}{b^2a}+\frac {b^6}{c^2b}+\frac {c^6}{a^2c}\\[1em]
&\geqslant \frac {(a^3+b^3+c^3)^2}{b^2a+c^2a+a^2c}\tag{01} \end{align*}
另一方面由均值不等式有
\begin{align*} b^3+b^3+a^3&\geqslant 3b^2a\\[1em]
c^3+c^3+b^3&\geqslant 3c^2b\\[1em]
a^3+a^3+c^3&\geqslant 3a^2c
\end{align*}
三式相加,整理即为 $a^3+b^3+c^3\geqslant b^2a+c^2b+a^2c$ ,于是(01)式化为
\begin{align*}
\frac {a^5}{b^2}+\frac {b^5}{c^2}+\frac {c^5}{a^2}
&\geqslant \frac {(a^3+b^3+c^3)^2}{b^2a+c^2a+a^2c}\\[1em]
&\geqslant \frac {(a^3+b^3+c^3)(b^2a+c^2a+a^2c)}{b^2a+c^2a+a^2c}\\[1em]
&=a^3+b^3+c^3.
\end{align*}
各不等式取“=”时, $a=b=c$. |