改为：`x_i\in[0,90\du]`, `x_1+x_2+\cdots+x_n=360\du`，证 `\sin x_1+\sin x_2+\cdots+\sin x_n\geqslant4`。
凸函数性质：若 `f(x)` 在 `[a,b]` 上严格上凸，该区间内有四数满足 `x_1<x\leqslant y<y_1` 且 `x_1+y_1=x+y`，则 `f(x)+f(y)>f(x_1)+f(y_1)`。
推论：在上述前提下，变量 `x_i\in[a,b]` 满足 `\sum x_i` 为定值，则 `\sum f(x_i)` 取最小值时至多有一个变量不在区间端点。
回到开头，由于 `90\mid360`，当 `n-1` 个 `x_i` 都取 `[0,90\du]` 的端点时，剩下那个也只能是端点，也就是 `\sum\sin x_i` 取最小值时全部都取端点，于是只能是 `4` 个 `90\du` 其余全是 `0`，因此 `\sum\sin x_1\geqslant4`。 |
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发表于 2021-7-25 15:02
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发表于 2021-7-25 15:24
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