如图，作高 CD，垂足为 D，记 CD = h，AD = y，DB = x，则条件化为 x + y = 2 且
\[\frac {2\sqrt {h^2+ ...
kuing 发表于 2021-12-3 14:58 
题：在 $\triangle ABC$ 中满足 $AB=2,$ $\frac 2{\sin A}+\frac 1{\tan B}=2\sqrt 3,$ 求 $\triangle ABC$ 面积最小值.
受答主 kuing，枍倾尘 的启发，特别是不想看 枍倾尘 后段不等关系，自己尝试写了下：
$$\frac 2{\sin A}+\frac 1{\tan B}=2\sqrt 3\iff 2\sqrt 3 a\sin B=2b+a\cos B.$$
于是
\begin{align*} 2\sqrt 3 a\sin B&=2b+a\cos B\\[1em] &=2\sqrt{a^2+4-4a\cos B}+a\cos B\\[1em] &=2\sqrt{\color{blue}{\left( 2-a\cos B \right)^2+a^2\sin^2B}}+a\cos B\\[1em] &=\sqrt{(1+3)\big(\left( 2-a\cos B \right)^2+a^2\sin^2B}\big)+a\cos B\\[1em] &\geqslant \color{olive}{(2-a\cos B)+\sqrt 3a\sin B}+a\cos B\\[1em] &=2+\sqrt 3a\sin B\\[1em] \Rightarrow \ a\sin B &\geqslant \frac {2\sqrt 3}3, \ \text{取}=\text{时},\ \frac {\sqrt 3}1=\frac {a\sin B}{2-a\cos B}(=\tan A), \end{align*}
所以 $$S_{\triangle ABC}=\frac 12 \cdot 2a\sin B=a\sin B\geqslant \frac {2\sqrt 3}3.$$ |
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发表于 2021-12-13 08:31
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发表于 2021-12-16 14:30
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