我的回答：
第七题，第一空：根据经验，这种题本质涉及高次方程，即系数不能随便写，否则解不了，因此系数是经命题者设计过，取等和答案必定简单（钓鱼题除外），因此这类题建议先蒙答案再说。
这里 x 无法取整数，假设 x=a/b 好了，那么 `y^2=\frac {45(b^2-a^2)}{b^2}` ，而 45=5*3^2，要想开方无根号，b^2-a^2 得含有因子 5，而 3^2-2^2=5，就尝试 x=2/3 吧，此时 y=5，代入所求式，恰好是个整数 21，不用想了，答案还能不是它吗？
要写过程就根据取等来凑，如：
\begin{gather*}
\frac 2{1-x}=\frac {4x^2}{(2-2x)\cdot x\cdot x}\geqslant \frac {4x^2}{(2/3)^3}=\frac {27}2x^2,\\
\frac {75}{10-y}-\frac 3{10}y^2-\frac {15}2=\frac {3y(y-5)^2}{10(10-y)}\geqslant 0,
\end{gather*}所以
\[\frac 2{1-x}+\frac {75}{10-y}\geqslant \frac {27}2x^2+\frac 3{10}y^2+\frac {15}2=\frac {27}2\left( {x^2+\frac {y^2}{45}} \right)+\frac {15}2=21.\]
第二空：呃……式子太丑了，不想看……
-----------------------
第九题：令 `x=ab,y=bc,z=ca` ，由面积公式有 `\frac 1{\sin A}=\frac y{2S}` 等，所以：
第一个条件化为 `x+y+z=2` ；
第二个条件化为 `2\max \{x^2,y^2,z^2\}<x^2+y^2+z^2`，即 `x^2<y^2+z^2`, `y^2<z^2+x^2`, `z^2<x^2+y^2` ，也即 `|y^2-z^2|<x^2<y^2+z^2` 。
更新：差点忘了 △ABC 的存在，还得满足 `|a-b|<c<a+b` ，两边乘 abc 即 `|zx-xy|<yz<zx+xy` 。
下面先求 x 的上界：
由 `x^2<y^2+z^2=(2-x)^2-2yz` 得 `yz<2-2x` 。
由 `|zx-xy|<yz` ，即 `x^2(y-z)^2<y^2z^2` ，故
\[x^2(2-x)^2=x^2(y+z)^2<y^2z^2+4x^2yz<(2-2x)^2+4x^2(2-2x),\]展开为 `x^4+4x^3-8x^2+8x-4<0` ，因式分解为
\[\Bigl( x^2+\bigl( 2+2\sqrt 2 \bigr)x-2-2\sqrt 2 \Bigr)\Bigl( x^2+\bigl( 2-2\sqrt 2 \bigr)x-2+2\sqrt 2 \Bigr)<0,\]得到 `x<-1-\sqrt 2+\sqrt {5+4\sqrt 2}` ；
再求 x 的下界：
由 `yz<zx+xy` 得 `yz<x(2-x)` ，故
\begin{align*}
x^4&>(y^2-z^2)^2\\
&=\bigl((2-x)^2-2yz\bigr)^2-4y^2z^2\\
&>\bigl((2-x)^2-2x(2-x)\bigr)^2-4x^2(2-x)^2,
\end{align*}展开化简为 `x^4-8x^3+18x^2-16x+4<0` ，因式分解为
\[\Bigl( x^2+\bigl( -4+\sqrt 2 \bigr)x+2 \Bigr)\Bigl( x^2+\bigl( -4-\sqrt 2 \bigr)x+2 \Bigr)<0,\]得到 `x>2+\frac{\sqrt2}2-\sqrt{\frac52+2\sqrt2}` 。
最后还要给出“取等”，为
\[\{x,y,z\}\to \left\{ {2+\frac{\sqrt2}2-\sqrt{\frac52+2\sqrt2},1+\frac {\sqrt 2}2-\sqrt {-\frac 12+\sqrt 2},-1-\sqrt 2+\sqrt {5+4\sqrt 2}} \right\},\]所以上面两个界都是确界，因此所求取值范围就是
\[\left( 2+\frac{\sqrt2}2-\sqrt{\frac52+2\sqrt2},-1-\sqrt 2+\sqrt {5+4\sqrt 2} \right).\]
编辑于 10-13 |
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
发表于 2021-10-11 14:43
| 
发表于 2021-10-19 22:34
| 