为方便书写，令 `N=C_{n+1}^2`, `x_i=1-a_i\in[0,1)`，原不等式即
\[\sqrt{\frac N{N-(x_1+x_2+\cdots+x_N)}}\geqslant1+(n-1)\left( \frac{n^2}{n^2-1} \right)^Nx_1x_2\cdots x_N,\]由均值有 `x_1+x_2+\cdots+x_N\geqslant N\sqrt[N]{x_1x_2\cdots x_N}`，故此记 `x=x_1x_2\cdots x_N\in[0,1)`，则只需证
\[\sqrt{\frac1{1-\sqrt[N]x}}\geqslant1+(n-1)\left( \frac{n^2}{n^2-1} \right)^Nx,\]令
\[f(x)=\sqrt{\frac1{1-\sqrt[N]x}},\,g(x)=1+(n-1)\left( \frac{n^2}{n^2-1} \right)^Nx,\]易知
\[f\left( \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right)^N \right)=g\left( \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right)^N \right)=n,\]求导得
\[f'(x)=\frac{\sqrt[N]x}{2Nx\left( 1-\sqrt[N]x \right)^{3/2}}\riff f'\left( \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right)^N \right)=(n-1)\left( \frac{n^2}{n^2-1} \right)^N,\]可见 `g(x)` 是 `f(x)` 在 `x=\left( \frac{n^2-1}{n^2} \right)^N` 处的切线，求二阶导数有
\[f''(x)=\frac{\sqrt[N]x\left( (2N+1)\sqrt[N]x+2-2N \right)}{4N^2x^2\left( 1-\sqrt[N]x \right)^{5/2}},\]故当 `0<x<\left( \frac{2N-2}{2N+1} \right)^N` 时 `f''(x)<0`，当 `\left( \frac{2N-2}{2N+1} \right)^N<x<1` 时 `f''(x)>0`，易证 `\frac{n^2-1}{n^2}>\frac{2N-2}{2N+1}`，即切点在下凸区间内，于是要证明 `f(x)\geqslant g(x)` 恒成立，只需证 `f(0)\geqslant g(0)`（理由见《撸题集》P.5），而显然 `f(0)=g(0)=1`，从而不等式成立。 |
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发表于 2021-7-11 10:20
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发表于 2021-7-11 15:32
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