仅证明小于 4 可以运用对偶式，令
\begin{align*}
A&=\prod_{k=2}^\infty\left( 1+\frac1{k^2} \right),\\
B&=\prod_{k=2}^\infty\left( 1-\frac1{k^2} \right),
\end{align*}（注意下限由 2 开始）则
\[AB=\prod_{k=2}^\infty\left( 1-\frac1{k^4} \right)<1,\]且
\[B=\prod_{k=2}^\infty\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\frac{1\cdot3}{2^2}\cdot\frac{2\cdot4}{3^2}\cdot\frac{3\cdot5}{4^2}\cdot\frac{4\cdot6}{5^2}\cdots=\frac12,\]所以 `A<2`，也就是 `\prod_{k=1}^\infty\left( 1+\frac1{k^2} \right)<4`。
以上内容好像都在旧论坛讨论过。 |
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发表于 2021-6-20 09:45
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发表于 2021-6-20 11:06
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