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中值定理证明凸-切线不等式

※)命题1:若函数$\,f(x)\,$在区间$\,(a,b)\,$内可导,在区间$\,[a,b]\,$恒下凸,
则对$\,\forall\,x_0\in(a,b)\,$,恒有$\,\forall\,x\in[a,b]\,$满足
\[f(x)\geq\,\!f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\]
※)命题1的证明:构造
\[ g(x)=f(x)-\dfrac{f(u)-f(v)}{u-v}(x-v) \]
其中$a\leq\,\!u<v\leq\,\!b$,则$\,g(u)=f(v)=g(v)\,$,
由Rolle中值定理,可知$\,\exists\,x_0\in(u,v)\,$使得
\[ g'(x_0)=0\quad\Rightarrow\quad\,\!f'(x_0)=\dfrac{f(u)-f(v)}{u-v} \]
则$\,g(x)\,$可以改写成$\,g(x)=f(x)-f'(x_0)(x-v)\,$,
从而有$\,g'(x)=f'(x)-f'(x_0)\,$
根据引理1,可知$\,f(x)\,$在$\,[a,b]\,$上是单调递增的.
当$\,a<x<x_0\,$时,$f'(x)<f'(x_0)$,即$\,g'(x)<0\,$;
当$\,x_0<x<b\,$时,$f'(x)>f'(x_0)$,即$\,g'(x)>0\,$.
所以
\begin{alignat*}{4}
&&g(x_0)
&\leq\,\!g(x)\\
\Rightarrow\quad
&&f(x_0)-f'(x_0)(x_0-v)
&\leq\,\!f(x)-f'(x_0)(x-v)\\
\Rightarrow\quad
&&f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
&\leq\,\!f(x)\\
\end{alignat*}
又因为$u,v$的任意性,所以$x_0$也具有任意性,于是命题成立.



*)引理1:一阶可导凸函数的导函数单调递增.
*)引理1的证明:不妨设$\,x_1,x_2\in[a,b]\,$,且$\,x_1<x_2\,$,
可导函数$\,f(x)\,$为凸函数,以及$\,\lambda\in(0,1)\,$,
记$\,t=\lambda\,\!x_1+(1-\lambda)x_2\,$,则
\begin{alignat*}{4}
&&f\big[\lambda\,\!x_1+(1-\lambda)x_2\big]
&\leq\lambda\,\!f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\\
\Rightarrow\quad
&&f\big(t\big)
&\leq\lambda\,\!f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\\
\Rightarrow\quad
&&\lambda\,\!f(t)+(1-\lambda)f(t)
&\leq\lambda\,\!f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\\
\Rightarrow\quad
&&0
&\geq\lambda[f(t)-f(x_1)]+(1-\lambda)[f(t)-f(x_2)]\\
\end{alignat*}
利用Lagrange中值定理,$\,\exists\,\xi,\eta\>$满足$\,x_1<\xi<t<\eta<x_2\,$,使得
\begin{align*}
&\quad\>\>\lambda[f(t)-f(x_1)]+(1-\lambda)[f(t)-f(x_2)]\\
&=\lambda\,\!f'(\xi)(t-x_1)+(1-\lambda)f'(\eta)(t-x_2)
\end{align*}
又因为$\,t=\lambda\,\!x_1+(1-\lambda)x_2\,$,则
\begin{aligned}
\left\{
\begin{split}
t-x_1&=(1-\lambda)(x_2-x_1)\\
t-x_2&=\lambda(x_1-x_2)\\
\end{split}\right.
\end{aligned}
因此,有
\begin{alignat*}{4}
&&
&\quad\>\>\lambda[f(t)-f(x_1)]+(1-\lambda)[f(t)-f(x_2)]\\
&&
&=\lambda(1-\lambda)(x_2-x_1)[f'(\xi)-f'(\eta)]\leq0\\
\Rightarrow\quad
&&
&\qquad\qquad\qquad\,f'(\xi)\leq\,\!f'(\eta)
\end{alignat*}
所以引理成立.
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本帖最后由 青青子衿 于 2021-6-11 17:25 编辑

\begin{aligned}
\left\{
\begin{split}
&f\big[\lambda\,\!x_1+(1-\lambda)x_2\big]\leq\lambda\,\!f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\\
&\qquad\qquad\qquad\,f(x)\in\mathcal{C}^1(0,1)
\end{split}\right.
\quad\Rightarrow\quad\,\!f'(x)\nearrow
\end{aligned}
※※※※※
\begin{alignat*}{4}  
&& 0\leqslant\,\!x_1<
&\,\xi<x_0\leqslant1\\
\\
\Rightarrow\quad&&f'(\xi)&\leqslant\,\!f'(x_0)\\
\Rightarrow\quad&&f(x_0)-f(x_1)&=f'(\xi)(x_0-x_1)\\
&&&\leqslant\,\!f'(x_0)(x_0-x_1)\\
\Rightarrow\quad
&&f(x_1)&\geqslant\,\!f'(x_0)(x_1-x_0)+f(x_0)\\
\\
&& 0\leqslant\,\!x_0<
&\,\eta<x_2\leqslant1\\
\\
\Rightarrow\quad
&&f'(\eta)&\geqslant\,\!f'(x_0)\\
\Rightarrow\quad
&&f(x_2)-f(x_0)&=f'(\eta)(x_2-x_0)\\
&&&\geqslant\,\!f'(x_0)(x_2-x_0)\\
\Rightarrow\quad
&&f(x_2)&\geqslant\,\!f'(x_0)(x_2-x_0)+f(x_0)
\end{alignat*}

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