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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 抛物线外切三角形 F到切点距离之积

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发表于 2021-5-31 16:42 | 只看该作者

[几何] 抛物线外切三角形 F到切点距离之积

本帖最后由 ellipse 于 2021-5-31 16:49 编辑

抛物线$y^2$=2px(p>0)上不同的三点A,B,C处的切线两两相交于$P_1,P_2,P_3$,
设抛物线的焦点为F,则$ FA \cdot FB\cdot FC=F P_{1}\cdot F P_{2} \cdot F P_{3}. $
求一个几何证明
只需证如下结论:过P作抛物线的两条切线,切点为A,B,求证FP²=FA⋅FB.
新建位图图像.jpg

新建位图图像.jpg

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2^#

发表于 2021-5-31 23:06 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-31 23:19 编辑

新建位图图像.png

新建位图图像.png

设A,B在准线上的投影为C,D,则AC=AF,BD=BF.由光学性质有AP平分∠CAF,所以AP垂直平分CF,CP=FP,同理DP=FP,所以CP=DP,∠CDP=∠DCP,故∠PFA=∠PCA=∠PDB=∠PFB,又2∠AFP+2∠APF+2∠BPF=∠ACP+∠PDB+∠CPD=360°,有∠AFP+∠APF+∠BPF=180°,即∠BPF=∠PAF,所以△AFP~△PFB,FP²=FA⋅FB.

3^#

发表于 2021-5-31 23:52 | 只看该作者

见 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5481 的 4#

4^#

发表于 2021-5-31 23:55 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-6-3 02:09 编辑

发现一个精彩的结论:

由这帖知$AP_1,BP_2,CP_3$共点,
设所共之点为P,
求证$PA \cdot PB\cdot PC=P P_{1}\cdot P P_{2} \cdot P P_{3}.$

5^#

发表于 2021-6-3 02:07 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-8-5 11:35 编辑

回复 4# hbghlyj
https://tieba.baidu.com/p/7385876871

熟知 CD/DB = EC/CA = AB/BF
注意 PA/PD * DC/CB * BF/FA = 1 等三式

第二个等式是梅氏定理,第一个$\frac{CD}{DB} = \frac{EC}{CA} = \frac{AB}{BF}$是因為如下結果

6^#

发表于 2021-6-4 01:13 | 只看该作者

回复 5# hbghlyj
顶一下5#

7^#

发表于 2021-8-5 11:32 | 只看该作者

啊我明白了

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