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发表于 2021-4-21 16:38 | 只看该作者

一个较复杂的级数

本帖最后由青青子衿于 2021-4-21 16:42 编辑

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\left(\frac{1}{5n-1}+\frac{1}{5n-3}\right)\left(\frac{1}{5n-2}+\frac{1}{5n-4}\right)\right]=\frac{4\pi}{15}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}
\end{align*}

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abababa

2^#

发表于 2021-4-21 22:34 | 只看该作者

回复 1# 青青子衿
发网友的解答，是用了留数的知识，我暂时没看懂。不过他最后说的那个是真的吗？

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kuing

3^#

发表于 2021-4-21 22:55 | 只看该作者

回复 2# abababa

最后那个哈哈哈O(∩_∩)O哈！

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abababa

4^#

发表于 2021-4-23 19:32 | 只看该作者

请网友又发了一种方法，不过这难道就是他所说的依据？

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isee

5^#

发表于 2021-4-25 00:20 | 只看该作者

m大真是全才，高才~更佩服了~以前还只是仅仅停留在几何上~

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abababa

6^#

发表于 2021-4-25 10:39 | 只看该作者

回复 4# abababa
查到一个这样的公式
\[\psi(n)=-\gamma+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=-\gamma+H_{n-1}\]
不过这里要求那个变量是整数，而且调和级数那个还是差的形式，$\frac{1}{n-\frac{4}{5}}$还不是正常的调和级数，他所说的调和数的我还没有头绪。但总觉得什么猫和老鼠的那个是在忽悠我

。

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血狼王

7^#

发表于 2021-4-29 11:05 | 只看该作者

留数定理是通用的，我没意见
改成其他系数的话，或许更难做

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Czhang271828

8^#

发表于 2021-5-2 23:02 | 只看该作者

本帖最后由 Czhang271828 于 2021-5-2 23:06 编辑

回复 6# abababa

需要说明$\psi$的定义域问题. $\psi$函数可定义在$\mathbb C$上(实际上亚纯). 这里$\psi(x):=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log\Gamma(x)=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$. 下列举些许性质:

对恒等式$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$求导, 得$\Gamma'(x+1)=x\Gamma'(x)+\Gamma(x)$. 因此
$$
\dfrac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=\dfrac{x\Gamma'(x)}{x\Gamma(x)}+\dfrac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+1)}=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}+\dfrac{1}{x}
$$
故$\psi(x+1)=\psi(x)+\dfrac{1}{x}$. 由于$\Gamma(x)$在$\mbox{Re}(x)\in(0,1]$时没有零点或极点, 因此$\psi(x)$不含零点或极点, 从而$\psi(x)$在$\mbox{Re}(x)>0$时良定义.

下面证明一般的$\psi(x)$展开表达.
$$
\psi (x+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right),\qquad x\neq -1,-2,-3,\ldots
$$
先由Weierstrass乘积式得到
$$
\Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}
$$
取对数得
$$
\log\Gamma(x)=-\gamma x-\log x+\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{x}{n}-\log\left(1+\dfrac{x}{n}\right)\right)
$$
两侧再关于$x$求导, $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log\Gamma(x)=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=\psi(x)$. 因此
$$
\psi(x)=-\gamma-\dfrac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+x-1}\right)
$$
明所欲证.

***

再帮M补一下引用(查看图床需科学上网)：

1. 因子分解, 行船猫 *Cruise Cat*. 3'28''

2. 调和数, 飞天猫 *The Flying Cat*. 1'30''

3. 余元思想, 台球猫 *Cue Ball Cat*. 2'52''

4. 计算能力, 麻烦的诞生 *Hatch up your troubles*. 6'24''

无钱佮歹看、无样佮歹生、无汉草佮无文采、无学历佮无能力、无高度无速度无力度共闲无代记。（闽南话）
口号：珍爱生命，远离内卷。

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abababa

9^#

发表于 2021-5-3 11:48 | 只看该作者

回复 8# Czhang271828

原来如此，那他在用的时候，是直接把两个括号里的$\frac{1}{x}$消去了，然后用了$\psi(1+x)=\psi(x)+\frac{1}{x}$这个性质，就正好变到下一等式。对我来说跳步太多了，太难看懂。

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Infinity

10^#

发表于 2021-5-27 23:02 | 只看该作者

回复 4# abababa
高斯双伽马(Digamma)定理的证明https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 41&fromuid=8865
和应用https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 40&fromuid=8865

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