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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 高等数学讨论 » 分布问题

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发表于 2021-4-10 11:18 | 只看该作者

分布问题

本帖最后由 APPSYZY 于 2021-4-10 11:32 编辑

设$n\geqslant 2$为正整数，从区间$\left[ 0,1 \right] $随机取一实数记为$x_1$，然后从区间$\left[ 0,1-x_1 \right] $随机取一个实数记为$x_2$，然后从区间$\left[ 0,1-x_1-x_2 \right] $随机取一实数记为$x_3$……然后从区间$\left[ 0,1-x_1-x_2-\cdots -x_{n-2} \right] $随机取一实数记为$x_{n-1}$，最后记$x_n=1-x_1-x_2-\cdots -x_{n-1}$．求证：$\left( x_1,x_2,\cdots ,x_n \right) $均匀分散在空间$\left[ 0,1 \right] ^n$中．
注：区间$\left[ 0,0 \right] $可以视作集合$\left\{ 0 \right\} $．

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2^#

发表于 2021-4-14 15:22 | 只看该作者

这个问题本身的描述也有点丑陋，应该还能改改

3^#

发表于 2021-4-14 15:26 | 只看该作者

n=2时，就是x2=1-x1吗？那(x1,x2)恒在线段上，这算均匀分散在[0,1]^2中？

4^#

发表于 2021-4-14 17:16 | 只看该作者

回复 3# 色k
这里均匀分散的意思就是指如果把题目描述的这个过程重复多次，得到多个点，当点足够多的时候，这些点均匀分布在空间里

5^#

发表于 2021-4-14 17:40 | 只看该作者

回复 4# APPSYZY

重复多少次它们都在y=1-x上啊，顶多是均匀分散在线段上，而不是[0,1]^2

6^#

发表于 2021-4-14 18:09 | 只看该作者

回复 5# 色k
的确，我最后的表述出错了。二位是均匀分布在线段$y=1-x,x\in \left[ 0,1 \right] $上，但是到了n维就不知道如何表述“均匀分布在XX”了...

7^#

发表于 2021-4-18 12:27 | 只看该作者

另外，其实我想证明的就是：给定n，当取很多个点的时候，这些点的第一个坐标$x_1$均匀分布在区间[0,1]中，第二个坐标$x_2$乃至第n个坐标$x_n$都均匀分布在区间[0,1]中。

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