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分圆多项式在有理数域上不可约

如题,证明分圆多项式在有理数域上不可约。

分圆多项式定义为:设$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$是互不相同的全部$n$次本原单位根,称$\varPhi_n(x)=\prod_{k=1}^{s}(x-\xi_k)$为$n$次分圆多项式。
$n$次本原单位根定义(这个定义只考虑在复数域上)为:设$U_k=\{\omega_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}:k=0,1,\cdots,n-1\}$中,当$\gcd(k,n)=1$时,称$\omega_k$为$n$次本原单位根。

但我从网友处了解到,$n$次本原单位根还有在一般域上的,虽然详细的内容我不太明白,但他给我讲了一个具体的示例,就是$\mathbb{Z}_7=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{5},\bar{6},\}$,也就是模$7$(这里必须是素数)的剩余类,然后乘法和加法计算完都要模$7$得到最后结果。在这个集合上考察$n=3$时(这里$n$不能是前面那个素数$7$的倍数),$x^3=\bar{1}$的根,有$\bar{1},\bar{2},\bar{4}$这三个,然后因为$\bar{2}$的幂能得到所有这三个,就也称为$n=3$次本原单位根,同理$\bar{4}$也是$3$次本原单位根,但$\bar{1}$的幂不能得到所有这些根,就不是$3$次本原单位根。

如果按这个定义,那在$\mathbb{Z}_7$上,$\varPhi_3(x)=(x-\bar{2})(x-\bar{4})=x^2-\bar{6}x+\bar{1}$,如果取代表元的话就是$x^2-6x+1$,这个也是$\mathbb{Q}$上不可约的多项式。

我现在能看懂的结果有:分圆多项式是首1整系数多项式、艾森斯坦判别法。想问怎么证明标题的命题,我查了一些证明,有的用了莫比乌斯函数之类的,实在是看不懂,最好是用相对初等的方法。
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