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网友给讲了一下这个命题,在一般的域上也是对的,如果多项式$f(x)$在小的域里不可约,它在大的域里一定没有重根。证明是用到了什么主理想整环上的裴蜀定理,我不懂这些,他的证明大致如下:
记$f'(x)$是$f(x)$的导函数,则若$f(x)\in F[x]$则必有$f'(x)\in F[x]$,因为$f(x)$不可约所以在$F[x]$里$\gcd(f,f')=1$,域上的多项式环是欧几里得环进而是主理想整环,所以存在裴蜀定理,根据裴蜀定理可以证明当发生域扩张时多项式的最大公因子不变(反证即得),所以在扩域多项式环$E[x]$里仍有$\gcd(f,f')=1$,如此即知不存在$x-a,a\in E$使得$x-a$能同时整除$f,f'$,而这是有重根的充要条件,所以$f$在$E[x]$上也没有重根。
具体到我的问题,就是因为实数域和复数域都是有理数域的扩域,所以有理数域里的不可约多项式在它的扩域里一定没有重根。 |