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多项式在有理数域上没有重根,在实数域上也没有

本帖最后由 abababa 于 2021-2-28 17:57 编辑

多项式$f(x)$的系数是有理数,并且在有理数域上没有重根(3楼将没有重根改为不可约)。那么$f(x)$在实数域、复数域上也一定没有重根吗?怎么证明呢?
在有理数域里不能分解的话,在实数域上可能可以分解,比如$f(x)=(x-\sqrt{2})^2(x-3)(x-5)$这种,虽然这时系数不是有理数,不满足条件,但会不会存在满足条件的$f(x)$?
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那 `(x-\sqrt2)^2(x+\sqrt2)^2` 不就行了吗

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回复 2# kuing

原来如此,我想了一下发现我考虑的时候最先想的不是有没有重根,而是它不可约,自然就没有重根了。如果换成这个条件,变成:有理系数多项式$f(x)$在有理数域上不可约,那么$f(x)$在实数域、复数域上会不会有重根?这时$f(x)$在这两个数域上可能是可约的,但有没有重根呢?

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回复 3# abababa

网友给讲了一下这个命题,在一般的域上也是对的,如果多项式$f(x)$在小的域里不可约,它在大的域里一定没有重根。证明是用到了什么主理想整环上的裴蜀定理,我不懂这些,他的证明大致如下:
记$f'(x)$是$f(x)$的导函数,则若$f(x)\in F[x]$则必有$f'(x)\in F[x]$,因为$f(x)$不可约所以在$F[x]$里$\gcd(f,f')=1$,域上的多项式环是欧几里得环进而是主理想整环,所以存在裴蜀定理,根据裴蜀定理可以证明当发生域扩张时多项式的最大公因子不变(反证即得),所以在扩域多项式环$E[x]$里仍有$\gcd(f,f')=1$,如此即知不存在$x-a,a\in E$使得$x-a$能同时整除$f,f'$,而这是有重根的充要条件,所以$f$在$E[x]$上也没有重根。
具体到我的问题,就是因为实数域和复数域都是有理数域的扩域,所以有理数域里的不可约多项式在它的扩域里一定没有重根。

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回复 3# abababa

那样的话我也觉得不会有,从感觉上来说,就像 2#,如果有 `(x-\sqrt2)^2` 的话,要使得展开有理,肯定还得一个 `(x+\sqrt2)^2` 与之配对,但这样的话又会造成有理可约……

至于上面的证明,显然超出我知识范围

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本帖最后由 hbghlyj 于 2021-3-1 10:08 编辑

回复 5# kuing 有重根等价于f和f'不互素,辗转相除得到最大公因式是有理的?

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