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[几何] [翻译帖]角格点问题

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-1-17 18:06 编辑


凸四边形ABCD中∠ABD=38°,∠DBC=46°,∠BCA=22°,∠ACD=48°,证明∠BDA=18°。
代数证明 来自角度の問題 #36 解答例

∠CDB=180°-∠DBC-(∠BCA+∠ACD)=64°
在AC的延长线上取点E,使得∠EBA=10°,则∠EBD=48°=∠ECD,EBCD共圆,∠CEB=∠CDB=64°,∠DEC=∠DBC=46°,∠BDE=∠BCE=22°。
在线段EB上取一个点F,使得∠BDF=18°,即∠FDE=4°,
S=sin∠DEC·sin∠EBA·sin∠BDF-sin∠CEB・sin∠ABD·sin∠FDE
=sin46°·sin10°·sin18°-sin64°·sin38°·sin4°
根据欧拉公式,$e^{iπx/180}=\cos x°+i・\sin x°$,设$ζ=e^{iπ/180}$,则$2i\sin x°=ζ^x-ζ^{-x}$。
此外,如果$ζ^{180}=-1,ζ^{360}=1$,且
$ω=ζ^{120},ξ=ζ^{72}$,由$1+ω+ω^2=0,1+ξ+ξ^2+ξ^3+ξ^4=0$得
$(2i)^3・S\\
=(ζ^{46}-ζ^{-46})(ζ^{10}-ζ^{-10})(ζ^{18}-ζ^{-18})-(ζ^{64}-ζ^{-64})(ζ^{38}-ζ^{-38})(ζ^4-ζ^{-4})\\
=ζ^{74}-ζ^{38}-ζ^{54}+ζ^{18}-ζ^{-18}+ζ^{-54}+ζ^{-38}-ζ^{-74}-ζ^{106}+ζ^{98}+ζ^{30}-ζ^{22}+ζ^{-22}-ζ^{-30}-ζ^{-98}+ζ^{-106}\\
=ζ^{74}+ζ^{218}+ζ^{234}+ζ^{18}+ζ^{162}+ζ^{306}+ζ^{322}+ζ^{106}-ζ^{106}+ζ^{98}+ζ^{30}+ζ^{202}+ζ^{338}+ζ^{150}+ζ^{82}-ζ^{74}\\
=(ζ^{98}+ζ^{218}+ζ^{338})+(ζ^{82}+ζ^{202}+ζ^{322})+(ζ^{30}+ζ^{150}) +(ζ^{18}+ζ^{162}+ζ^{234}+ζ^{306})\\
=(ζ^{98}+ζ^{218}+ζ^{338})+(ζ^{82}+ζ^{202}+ζ^{322})+(ζ^{30}+ζ^{150}+ζ^{270})+ζ^{18}+ζ^{90}+ζ^{162}+ζ^{234}+ζ^{306}-(ζ^{90}+ζ^{270})\\
=ζ^{98}(1+ω+ω^2)+ζ^{82}(1+ω+ω^2)+ζ^{30}(1+ω+ω^2)+ζ^{18}(1+ξ+ξ^2+ξ^3+ξ^4)-ζ^{90}(1-1)\\
=0.$
因此,S=0,即sin∠DEC·sin∠EBA·sin∠BDF=sin∠CEB·sin∠ABD·sin∠FDE,由角元Ceva定理的逆定理,直线EC,BA,DF共点。
因此,点A在直线DF上,∠BDA=∠BDF=18°。

ζ是360次本原单位根,如图所示,复平面上由12个黑色圆圈表示的复数之和为0,加上两个白色圆圈以后共有14个点,形成了三个正三角形和一个以原点为中心的正五边形的顶点,这就是这个问题中的四边形的点。

几何证明 来自初等幾何で整角四角形を完全制覇!!!
取△ABC的外心P,△DBC的外心Q和△PQC的外心R.取S和T,例如△PRC≡△PSA,△QRC≡△DTQ
・ RXT为正三角形
以SP为边作正五边形SPUVW
・ PUR为正三角形
绘制一个以DT为一侧和平行四边形URTY的正三角形DTX
・折叠线ASWV和折叠线UYTX联合
・ DX // VU因此,DXUV变为平行四边形。
取S'为△UYX≡DS'V
因此,它也是ΔASV≡DS'V,而SADS'是等边梯形。
∠A可以通过知道该等腰梯形的内角来获得。

角度验证
RPC是等腰三角形,底角为26度
RQC是等腰三角形,底角为16度
∠CQD= 92度,∠RQT= 92-16-16 = 60度(→RXT是正三角形)
RPS = CPA = 168度,RPU = 168-108 = 60度(→PUR为正三角形)
∠UYT=∠URT=∠PRQ= 20度
∠ASP= 180-26 * 2 = 128度,∠ASW= 128-108 = 20度
TXYTX = 360-(180-20)-∠RTX= 108度(→折线的全等)
∠VUY= 360-(180-20)--60 --108 = 32度
DX和UY之间的角度= DX和RT之间的角度
=∠RTX-60= 360-(180-16 * 2)-60-60-60 = 32度(DX // VU)
∠SVU= 72度,∠YXD= 60-36 = 24度,所以∠SVS'= 72 + 24 = 96度
∠ASS'= 20 + 36+(180-96)/ 2 = 98度,所以∠SAD= 82度
从∠BAS= 68-26 = 42度∠ADB= 180-38-42-82 = 18度
[幕后计算]
AS,SP,PR,RQ,QT和TD相对于BC的偏差为-52,-2、10、170、50、82度。
设置z = exp(2πi/ 360)
f = z ^(-54)+ z ^(-2)+ z ^ 10 + z ^ 170 + z ^ 50 + z ^ 82
证明那是z ^ 28的实数倍

因为z的最小多项式是96阶
z的指数可以唯一地变换为28±48
g = z ^ 28 *(-z ^ 42-z ^ 38 + z ^ 22 + z ^ 18 + z ^ 6 +1 / z ^ 6 +1 / z ^ 18 +1 / z ^ 22-1 / z ^ 38-1 / z ^ 42)
这种形式表明f = g是z ^ 28的实数倍。

有所作为
h = z ^ 170 + z ^ 82 + z ^ 70 + z ^ 66-z ^ 46-z ^ 34-z ^ 22-z ^ 6 +1 / z ^ 2 +1 / z ^ 10 +1 / z ^ 14 +1 / z ^ 54 = 0
只是显示。如果将指数加180并对齐符号,则更容易看到负数。
h = z ^ 226 + z ^ 214 + z ^ 202 + z ^ 186 + z ^ 170 + z ^ 82 + z ^ 70 + z ^ 66 + 1 / z ^ 2 +1 / z ^ 10 + 1 / z ^ 14 +1 / z ^ 54 = 0

・ Z ^ 170 +1 / z ^ 10朝向另一侧,因此消失了
・ Z ^ 186 + z ^ 66 +1 / z ^ 54消失了,因为它们形成了正三角形。
适当处理其余部分
(z ^ 286)+ z ^ 214 +(z ^ 142)+ z ^ 70 +1 / z ^ 2 = 0(正五边形)
z ^ 226 +(z ^ 106)+1 / z ^ 14 = 0(正三角形)
(z ^ 322)+ z ^ 202 + z ^ 82 = 0(正三角形)
括号中的四个术语是新添加的术语
它消失了,因为它两两面对另一面。

在适当设计的同时,上述内容简化为图纸。
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*从代数展开理论可以推断出该方法始终有效。
*对于这个问题,由已发布的答案示例建议
 我认为使用常规五边形或与其等效的操作非常重要。
10/29修正错误
・感谢您的评论。
・(18, 144/7, 24, 450/7, 90/7)也进行了处理,而10/30包含以下内容:

当∠ABD= 18度,∠DBC= 144/7度,∠ACB= 24度,∠DCA= 450/7度时
∠ADB= 90/7度。

[如下所示]
取△ABC的外心P,△DBC的外心T和△BPQ的外心R。
取S和T,例如△ASP≡△PRB,△DTQ≡△QRB
以PR为一侧绘制星形(正五边形的对角线)PR-R2-R3-R4
取U,V,W乘以正六边形R2-RQTUVW
以直线R4-U为对称轴,折线PSA和UTD
将折叠的分别作为R3-S'-A'和UV-D'。
另外,取X和Y,以使R4-R3-X和R4-PY为正三角形。

SP // TU,AS // X-R4,X-R3 // VD'等
可以确认ASPY-R4-X-R3-S'-A'的折叠线和DTUV-D'的折叠线是等效的。(通常,它重复平行移动和全等)
因此AD // A'D'因此AD // R4-U
R4-U和它周围的侧面之间的角度是已知的。(省略特定角度验证)

[背景计算]
z是420次本原单位根.要证明$f = -z ^ {91} + 1 / z ^ {75}-1 / z ^ {63} + z ^ {45} +1 / z ^ {15} + z ^ {49}$是实数.
在前面的问题中,我们是通过将f表为f=g+g*来证明的。这里,证明f-f*=0更容易.
也就是说,$f^*= -1 / z ^ {91} + z ^ {75}-z ^ {63} +1 / z ^ {45} + z ^ {15} +1 / z ^ {49}$,要证明f-f*=0
如果指数不是7的倍数,则指数项将是7的倍数。
如果指数不是3的倍数的位置由正三角形表示,则保留次数为21的倍数的项。
将其余部分表示为正五边形,得:
$f-f^* = -(z^{75}-z^{45}+z^{15}-1/z^{15}+1/z^{45}-1/z^{75}+1/z^{105})+(z^{49}-1/z^{21}+1/z^{91})-(z^{91}-z^{21}+1/z^{49})
+(z^{63}-z^{21}+1/z^{21}-1/z^{63}+1/z^{105})$

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