求无穷级数和$\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{1+k^4}}$
得闲时出咗一道无穷级数求和题
\[
\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{1+k^4}
\]
题主先后采用展开式$\displaystyle{\dfrac{1}{1+k^4}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{k^{4n}}}$与及留数法进行计算,但系过程好复杂嘞,想问吓有冇更简单嘅方法?
p.s. (留数法求无穷数列和公式)若亚纯函数(如有理多项式、三角式等函数)$f(z)$满足
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)<\infty
\]
则
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=-\pi\sum{函数 \cot(\pi z)f(z) 于pole处嘅留数}
\]
p.p.s.答案系$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{2}\Re(e^{3i\pi/4}\cot(e^{3i\pi/4}\pi))$,返屋企之后再附上解答过程。 |