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[几何] 20°相关初中几何题

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-1-17 09:09 编辑

(1)△ABC,BCD为等边三角形,点E,F在边AB,AC上,∠ABE=∠ACF=20°,CG=EG=BH=FH=AB,求证DHG共线.
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2021-1-8 17:19

(2)△ABC为等边三角形,B和G在AC异侧,∠AGC=20°,∠ACG=40°,E和G关于BC中垂线对称,D和C在AE的异侧,∠DEA=∠DAE=20°,F和D在AE的同侧,AF=EF=CD,C'和C关于DE对称,C''和C'关于AC中垂线对称,H和B在AG同侧,AH=GH=CD,M和B在AC同侧,AM=CM=CD,作平行四边形CDLB,射线LM与以D为圆心,CD为半径的圆交于N,求证FHNC''共线.
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2021-1-9 00:23

注:图中红色线段都相等.
(3)△ABC为等边三角形,G在AD延长线上,AB=BD=DG,AD=DE,∠ABD=∠DAE=20°,求证CEG共线,且线段CG被BD平分.
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2021-1-8 18:44

(4)△ABC的外心为O,∠BAC=20°,G在BC延长线上,AB=AC=CG,△ABD,ACE为等边三角形,点B'在线段CE上,点F在BD延长线上,BC=B'C=DF.求证:DB'G共线,OF=OG.
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2021-1-8 20:43

(5)△ABC是等边三角形,点D,C在AB的异侧,∠ABD=20°,AB=BD,点E在DA延长线上,AE=AB,点F,G分别在线段AC,BC上,AF=BG=AD,以G为圆心且过D的圆与线段AE交于H,与线段CE交于I,求证:IF∥EA,IH∥CA.
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2021-1-10 20:49

(6)△ABC为等边三角形,其外接圆的劣弧AC的三等分点为D,E,作B关于DE的对称点B',点A,G在BC的同侧,点F,G在AB的同侧,BG=CG=AF=BF=BD,求证:B'FG共线.
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2021-1-14 09:35

注:图中红色线段都相等.
(7)△ABC为等边三角形,点D,E分别在边AC,AB上,∠CBD=∠BCE=20°,点F和A在DE的异侧,DF=EF=AB,作等边三角形BDG,CEH使F,G,H在BC同侧,点I和C在BH的异侧,BI=HI=AB,点J和B在CG的同侧,CJ=GJ=AB,点K和C在AB的异侧,BK=EK=AB,以D为圆心,AB为半径的圆与KF再交于L,求证AIJL共线.
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2021-1-9 10:33

注:图中红色线段都相等.
(8)△ABC,BDE为等边三角形,点D在△ABC内部,D和E在BC的异侧,∠CBD=20°.△CDE的外心为O.直线BD交AC于F,点G在BF延长线上,FG=BD.点B,B'关于AG对称,点B',B''关于CD对称.B''E交B'O于H,交AC于I,求证:CI=CO,CGH共线.
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2021-1-9 21:54

(9)△ABC是等边三角形,点E和C在AB的异侧,∠ABE=40°,AB=BE,点D在△ABC外,∠CBD=∠BCD=10°,点F在线段AB上,∠BCF=20°,FH∥BC,FH=FC,点G在EB延长线上,BG=BF,求证ED=HD,GH=AB,∠EDH=∠EGH=40°.
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2021-1-9 22:03
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回复 8# hbghlyj

我惊奇地发现,你这帖上传的所有图,都是 61.28 KB 大小,无论啥尺寸这不科学

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本帖最后由 hbghlyj 于 2021-1-14 09:54 编辑

转自几何吧
(1)用同一法.设H在GD上,BH=AB,我们证明∠HBA=∠CEG.由BA=BC=BH=BD得∠AHC=30°,∠GHC=30°.∠HAC=∠HDC=∠CGH⇒HC垂直平分AG⇒△AHG为等边三角形⇒△ABC≅△AHG⇒△ABH≅△ACG⇒∠ABH=∠ACG.
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2021-1-14 00:48

(3)延长BD交CA于H,延长AE交BG于I,易证CA∥BG,CB∥AI.AB=IA,∠ABH=∠IAG=20°,∠HAB=∠AIG=120°,∴△BAH≅△AIG,∴AH=IG,又AH∥IG,∴CB∥AI∥HG∴CHGB是平行四边形∴BD平分CG.∵△BAE≅△BID~△BGH,∴$\frac{AE}{HG}=\frac{BA}{BG}=\frac{AC}{HC}$,∴CEG三点共线.
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2021-1-14 00:15

(4)与(3)同样可证DB'G共线.∵DF=BC,BD=CG,∴BF=BG.∵∠OBF=∠OBG=70°,∴OF=OG.
(5)∵AF=AD,∠FAD=140°,∴∠AFD=20°=∠ABD∴ABFD共圆.∵BG=AF,∠ABG=∠BAF,∴ABDFG共圆.设BE交此圆于J,∠ABJ=40°⇒AD=AF=FJ=JG=GB.设AG,CD交于K,∵AG∥BD,∴∠CKG=50°,CG=GK,∴∠GKD=130°,∠CDG=50°-20°=30°.∵∠CAE=40°,∴∠ACE=70°,∠GCI=130°.∵GI=GD,∠GCI=∠GKD,CG=CK,∴△GCI≅△GKD,∴∠CIG=30°=∠CFG/2,∴F为△CIG的外心.∵CF=FI,∴FI∥AE.∵GH=GD,∠GDH=60°,∴GD=DH.∵IF=CF=AC-AF=AB-AD=GD-AD=DH-AD=AH,∴AFIH为平行四边形.
在解题中还发现如下结论:
∵DGJ=60°,∴GJH共线.
∵FG∥AB,GK∥BD,FG=CG=GK,∴△FGK~△ABD,∴FK∥AD,∴IFK共线.
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2021-1-10 22:15

(6)用同一法.设△ABC的外心为O,OA交B'F于G,我们证明BF=BG.
△BOD~△BDB'⇒$BF^2=BD^2$=BO⋅BB'⇒△BOF~△BFB'⇒∠BFB'=∠BOF=60°=∠B'OG⇒BOFG共圆,而OF平分∠BOG,∴BF=FG,又∠BFG=60°,∴△BFG为等边三角形.
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2021-1-14 09:54

(9)设CE交AD于I,交AB于J.∵∠CBE=100°,∴∠CEB=∠BCI=40°,∴∠JEB=∠JBE,∴JE=JB,IE=CJ.∵BI=CI,∴∠BIC=100°=∠BFC,∴BCFI共圆,圆心为D,∴∠EIF=60°=∠HFB.∵∠FCI=∠FCB=20°,∴IE=CJ=CF=HF.∵IE=HF,IF=BF,∠EIF=∠HFB,∴△EIF≅△HFB,∴BH=FE.∵HB=EF,BD=FD,∠HBD=∠HBF+70°=∠EFI+70°=∠EFD,∴△HBD≅△EFD,∴HD=ED.
DF=DG=DC⇒B,C,F,G在以D为圆心的圆上.∵∠FGC=∠FAC=60°,∠GFC=∠AFC=80°,∴△AFC≅△GFC.∵FH=FC,∠HFG=∠CFG=80°,∴△HFG≅△CFG,∴GH=CG=AC.
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2021-1-10 23:10

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本帖最后由 hbghlyj 于 2021-1-17 09:08 编辑

㈠点A,B在圆C上,△ABC的外心为O,点C,D关于AB对称,AB与CD交于H,则O,D关于圆C对称.
证明:设E在CO延长线上,OE=OC,则A,B在以CE为直径的圆上,$BC^2=CH⋅CE=\frac{CD}{2}\cdot CE=CD\cdot CO$⇒O,D关于圆C对称.
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2021-1-13 23:16

㈡过D作割线DFG,则CD平分∠FOG.
证明:过O作CD垂线与DFG交于I,则F,G调和分割D,I,而∠DOI=90°,所以CD平分∠FOG.
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2021-1-13 23:29

㈢取△ABC为等边三角形,就得到:
△ABC,ABD是等边三角形,点E,F在△ABC的外接圆上,CE=CF,CG=EG=CH=FH=AB,则DGH共线
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2021-1-13 23:34

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2021-1-13 23:54

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本帖最后由 hbghlyj 于 2021-1-17 09:08 编辑

(7)的AIJ共线与(1)相同.
现在还剩(2),(7)的一部分,(8)的一部分没有证.

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