明知结果这么坑还去撸，还是因为闲得蛋疼……
记直线倾斜角为 `\theta`，由 `D` 在第三象限易知 `\theta\in(0,\pi/4)`，记 `r_1=F_2B`, `r_2=F_2D`，则易得
\[r_1=\frac4{1+\cos\theta},\,r_2=\frac2{\sqrt2-\cos\theta},\]于是
\[\S{BF_1D}=\S{F_2F_1D}-\S{F_2F_1B}=2r_2\sin\theta-2r_1\sin\theta=\frac{4\sin\theta}{\sqrt2-\cos\theta}-\frac{8\sin\theta}{1+\cos\theta},\]令 `t=\tan(\theta/2)`，代万能公式，变成
\[\S{BF_1D}=\frac{4\cdot\frac{2t}{1+t^2}}{\sqrt2-\frac{1-t^2}{1+t^2}}-8t=\frac{8t}{\bigl(\sqrt2+1\bigr)t^2+\sqrt2-1}-8t,\]然后就可以求导算了，不过在求导前可以稍微优化一下表达式，写成
\[\frac{\S{BF_1D}}8=\frac1{\frac t{\sqrt2-1}+\frac{\sqrt2-1}t}-t,\]记 `m=\sqrt2-1`，实际上 `m=\tan(\pi/8)`，再令 `u=t/m`，由 `\theta\in(0,\pi/4)` 知 `u\in(0,1)`，也就是
\[\frac{\S{BF_1D}}8=\frac u{u^2+1}-mu=f(u),\]现在求导就好写多了
\[f'(u)=\frac{(1-u^2)}{(u^2+1)^2}-m,\]令导数为零解得
\[u^2=\frac{-2m-1+\sqrt{8m+1}}{2m},\]又 `m^2=1-2m`，故
\[t^2=m^2u^2=-m^2-\frac m2+\frac m2\sqrt{8m+1}=\frac32m-1+\frac m2\sqrt{8m+1},\]所求值为
\[\vv{F_2F_1}\cdot\vv{F_2B}=4r_1\cos\theta=\frac{16\cos\theta}{1+\cos\theta}=8(1-t^2)=16-12m-4m\sqrt{8m+1},\]把 `m` 代回去化简，最终结果就是
\[28-12\sqrt2-4\bigl(\sqrt2-1\bigr)\sqrt{8\sqrt2-7}.\]
此结果与 1# 的答案是相等的喔，简洁多了呢！我的计算方法应该会比答案高明吧 |
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发表于 2020-12-18 16:05
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发表于 2020-12-19 00:29
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