本帖最后由 icesheep 于 2013-11-8 21:37 编辑
Fejer-Jackson-Gronwall 不等式，范围是 $x \in \left( {0,\pi } \right)$
这里有另一个证法和对上界的估计：http://tieba.baidu.com/p/1770844577
可以用数学归纳法做。如果最小值点是内点，设为 ${x_0}$ 那么其一阶导数为零。
\[0 = \sum\limits_{k = 1}^n {\cos k{x_0}} = \frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right){x_0} - \sin \frac{{{x_0}}}{2}}}{{2\sin \frac{{{x_0}}}{2}}}\]
或者有 $\left( {n + \frac{1}{2}}\right){x_0}=\frac{{{x_0}}}{2}+2k\pi$ 或者有 $\left({n+\frac{1}{2}}\right){x_0}=-\frac{{{x_0}}}{2}+\left({2k+1}\right)\pi $
\[\sin n{x_0} = \sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right){x_0}\cos \frac{{{x_0}}}{2} - \cos \left( {n + \frac{1}{2}} \right){x_0}\sin \frac{{{x_0}}}{2}\]
于是 $\sin n{x_0} = 0$ 或 $\sin n{x_0} = \sin {x_0} > 0$
\[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\sin k{x_0}}}{k}} = \frac{{\sin n{x_0}}}{n} + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{\sin k{x_0}}}{k}} \]
于是问题化归到 n-1 时的情况。 |
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发表于 2013-11-8 20:36
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发表于 2013-11-8 21:19
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发表于 2013-11-9 00:26
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