[几何] 垂心连线证明垂直

D为$\triangle$ABC内角A的平分线上一点(异于A) ,E,F分别为$\triangle$ACD,$\triangle$ABD的垂心.G为BC中点.证明DG⊥EF.

hbghlyj

2^#

发表于 2020-12-12 23:47 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-12-13 00:04 编辑

题源：纯几何吧2761推广
证: (insaneΩ)
方法1:作P关于M对称点P'
∠PCP'= 180°-∠BPC= 90°-∠PBA+ 90°-∠ACP-∠BAC=∠BAD +∠EAC-∠BAC=∠EAD
且${AE\over AF}={2R_{\odot PCA}•\cos∠PAC\over 2R_{\odot PAB}•\cos∠BAP}={PC cos∠PAC/sin∠PAC \over PB cos∠BAP/sin∠BAP}={PC\over PB }={CP\over CP'}$,故△PCP'~△EAF.
结合CP⊥AE,CP'⊥AF,知PP'⊥EF

方法2:

其中X的生成本质是过G的BC垂线与过A的AP垂线的交点.
设U,V,W分别为BC垂线向,PG垂线向,AD垂线向的无穷远点.过G垂直于AP的直线交过A垂直于BC的直线于J,过C的AP垂线交过G的PG垂线于K,对AEW与UVG用笛沙格定理知只需证$AK\bot CP$.这是显然的.

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hbghlyj

3^#

发表于 2021-1-27 13:54 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-1-27 14:24 编辑

回复 1# hbghlyj
用重心坐标算
不到1秒

ptD = {u, b, c};
ptE = Ortocentro[{ptA, ptC, ptD}];
ptF = Ortocentro[{ptA, ptB, ptD}];
ptG = {0, 1, 1};
EF = Recta[ptE, ptF];
DG = Recta[ptD, ptG];
SonPerpendiculares[EF, DG]

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