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[几何] 到(平面上)5个定点距离和最小的点的位置

到3定点和4定点,晓得的
到5定点或以上,被小伙子难倒了
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来个简单情形试试看:

`A(0,0)`, `B(2,0)`, `C(2,2)`, `D(0,2)`, `E(0,1)`,求 `P` 使之到这五点的距离和最小。

首先证明所求 `P` 一定在 `y=1` 上,若不在,记 `P` 在 `y=1` 上的投影为 `P'`,则 `PA+PD>P'A+P'D`, `PB+PC>P'B+P'C`, `PE>P'E`,从而 `P'` 使距离和更小。

于是问题变成 `P(x,1)`,求 `2PA+2PB+PE` 的最小值,显然只需考虑 `x\in[0,2]` 上的,即求 `2\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{(x-2)^2+1}+x` 的最小值,求导发现需要解四次方程……

所以更一般的话,我看就算了吧……

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谢谢kk,看来就这样了。

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本帖最后由 TSC999 于 2021-1-21 09:23 编辑

那要是空间的 5 个点,就更复杂了。如果可以用 mathematica 软件求数字解,那很容易。
  1. xa = 0; ya = 0; xb = 2; yb = 0; xc = 2; yc = 2; xd = 0; yd = 2; xe = \
  2. 0; ye = 1;
  3. FindMinimum[{Sqrt[(x - xa)^2 + (y - ya)^2] +
  4.    Sqrt[(x - xb)^2 + (y - yb)^2] + Sqrt[(x - xc)^2 + (y - yc)^2] +
  5.    Sqrt[(x - xd)^2 + (y - yd)^2] + Sqrt[(x - xe)^2 + (y - ye)^2]}, {x,
  6.    y}]
复制代码
程序计算结果是 {6.32709,{x->0.375554,y->1.}},就是说当 x=0.375554,y=1 时,该点到其余五个点的距离之和最小,等于 6.32709。
这个程序也应该适用于更多个点,以及三维空间的情况。

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