[不等式] 一个最值问题

求一个最值问题的解法：
已知正数$x,y$满足$xy-1=x+y$，求$\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}$的最小值。

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yao4015

2^#

发表于 2020-11-23 16:00 | 只看该作者

解法是正规套路，不想去计算了，只给个思路。
约束是双曲线的一支在第一象限。容易看出，它有一个有理点$(x,y)=(2,3)$。然后它可以有理参数化，带一个参数。再将参数方程代入目标函数，变成了求单变量函数的最小值。求导解出驻点，回代入函数，得最小值。

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力工

3^#

发表于 2020-11-23 20:34 | 只看该作者

回复 2# yao4015
有理参数化，再将参数方程代入目标函数?不懂. 还得请大佬更清楚地明示。

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kuing

4^#

发表于 2020-11-24 01:38 | 只看该作者

本帖最后由 kuing 于 2020-11-24 15:11 编辑

条件变成 `(x-1)(y-1)=2`，显然 `x`, `y>1`，所以作置换 `(x,y)\to(x+1,y+1)`，问题等价于：

`x`, `y>0`, `xy=2`，求 `f=\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}+\sqrt{(x+2)^2+y^2}` 的最小值。

几何意义就是：`A(-2,-2)`, `B(-2,0)`，求以 `A`, `B` 为焦点的椭圆且与双曲线 `xy=2` 在第一象限相切。

两圆锥曲线相切，根据经验，这本质上极可能是涉及高次方程，也就是只有设计过数据才能撸的类型，这题敢这样出，应该是设计过，所以得继续观察其特殊性。

不难发现，点 `A` 正好是 `xy=2` 的一个焦点！
以下部分完全白写，请直接看 7#
其相应的准线是 $x+y+2=0$，而离心率为 $\sqrt2$，于是根据第二定义及点到直线距离公式，理应有 $\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}=x+y+2$（当然你也可以直接发现这条等式），即 $f=x+y+2+\sqrt{(x+2)^2+y^2}$，没了一个根号次数就没那么高了，可以消 $y$ 求导算，但结果也是不是很漂亮，这里就小耍个装逼解法，有
\begin{align*}
f&=x+y+2+\frac{\sqrt{(4+1)\bigl((x+2)^2+y^2\bigr)}}{\sqrt5}\\
&\geqslant x+y+2+\frac{2(x+2)+y}{\sqrt5}\\
&=\left( 1+\frac2{\sqrt5} \right)x+\left( 1+\frac1{\sqrt5} \right)y+2+\frac4{\sqrt5}\\
&\geqslant2\sqrt{\left( 1+\frac2{\sqrt5} \right)\left( 1+\frac1{\sqrt5} \right)xy}+2+\frac4{\sqrt5}\\
&=4+2\sqrt5,
\end{align*}当 $x+2=2y=1+\sqrt5$ 时取等。

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yao4015

5^#

发表于 2020-11-24 09:22 | 只看该作者

回复 3# 力工

关于二次曲线，有一个著名的结论：如果存在一个有理点，则可有理参数化。
在这里点是$(2,3)$，令 $x=t+2,y=k(t+2)+3$ ,代入 $xy-1=x+y$, 得到
$$t(kt+k+2)=0$$
解出 $k=\frac{-2}{t+1}$, 就可以获得给定双曲线的有理参数方程
$$x=t+2, y=\frac{t+3}{t+1}.$$

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敬畏数学

6^#

发表于 2020-11-24 14:05 | 只看该作者

回复 4# kuing 三角不等式是否可行？很像？

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kuing

7^#

发表于 2020-11-24 15:04 | 只看该作者

我真是太笨了！发现 `A` 是双曲线焦点之后，想着去根号就往第二定义去了，却没想过用第一定义！

设 `P(x,y)` 在第一象限的 `xy=2` 上，另一个焦点是 `C(2,2)`，易知 `2a=4`，于是 `PA=4+PC`，因此
\[f=4+PC+PB\geqslant4+BC=4+2\sqrt5,\]而线段 `BC` 与第一象限的 `xy=2` 有交点，所以能取等。

瞬间搞定！

TNND 我上面都干了啥……

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敬畏数学

8^#

发表于 2020-11-24 18:36 | 只看该作者

看到xy似乎是套路。和差代换。$ x=a+b,y=a-b ,a>0,（a-1）^2-b^2=2,\sqrt{2}(\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(b+1)^2})$，$ （a-1）^2-b^2=2, $ 双曲线左焦点F1（-1，0），右焦点F2（3，0），B(0,-1),P(a,b)。下面就是$PF1+PB=2 \sqrt{2} +PF2+PB\geqslant 2\sqrt{2}+\sqrt{10}$。此题好题，就是双曲线不标准。

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