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[几何] 来自网友的向量 |a|=4,|b|=2|c|,(a-c)(b-c)=3 求 |a-b| 最小

Joseph 2020/10/18 11:21:33
QQ图片20201019030005.png
2020-10-19 03:00

这个问题有简单方法吗?
搞了半天才弄出个装逼解法如下:

因为
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac23(\bm a^2+\bm b^2-4\bm c^2)-\frac83(\bm a-\bm c)\cdot(\bm b-\bm c)+\frac13(\bm a+\bm b-4\bm c)^2,\] 代入条件化简得
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac83+\frac13(\bm a+\bm b-4\bm c)^2\geqslant\frac83,\]时间关系取等暂略……
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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

差点又忘了补充取等:
\[\bm a=(4,0),\,\bm b=\left( \frac72,\frac12\sqrt{\frac{29}3} \right),\,\bm c=\left( \frac{15}8,\frac18\sqrt{\frac{29}3} \right).\]

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$a^2-2ab+b^2=(a-c)^2+(b-c)^2-2(a-c)(b-c)$

$现在只要使(a-c)^2+(b-c)^2最大就可以了。$

做得到吗?

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搞了半天才弄出个装逼解法如下:

因为
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac23(\bm a^2+\bm b^2-4\bm c^2)-\fra ...
kuing 发表于 2020-10-19 03:10


这个还真难算(我算不下去),如果引用三角的话。。

不过,取$\bm a=(4,0),\bm b=(2,0),\bm c=(1,0)$满足条件,此时$\bm a-\bm b=(2,0)$,这个模不是更小?或者说这特殊值哪里出问题了?

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回复 4# isee

我算的是平方……
这名字我喜欢

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回复 5# 色k


原来如此!

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本帖最后由 走走看看 于 2020-10-22 22:13 编辑

回复 4# isee

$2比\sqrt{\frac{8}{3}}大一点。$

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这个题目我没见到有简单的方法,作为填空题,要么是出题人自己用的方法有错误,也或者确实我们还没找到简单的方法。

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