这个证明严格吗？好像没有用到“连通”这个条件，希望完善一下。
定理：存在一条直线，同时平分两个给定的有限连通图形的面积
引理：对任意直线a，一个有限连通图形恰有一条面积平分线b平行于a
证明：设图形的面积为S,直线a'平行于a,a'与a的有向距离为x,a'两侧的面积之差f(x)是x的连续函数,则x在两个方向趋于无穷时f(x)分别是$\pm S$,由零点定理,存在$x_0\in\mathbf R$使得$f(x_0)=0$,此时a'=b是一条面积平分线.
定理的证明：设a的倾斜角为α，b的两侧的面积之差f(α)是连续函数，且$f(α)=-f(\pi-α)$，由零点定理存在$α_0\in\mathbf R$使得$f(α_0)=0$，此时b同时平分两个图形的面积
下面两图均以三角形为例演示直线b随α的变化过程：
直线和三角形为何不能是这样的：
djc:
这就要去研究一下“三尖内摆线的切线布满平面”这个性质了(三角形的面积平分线的包络与三尖内摆线仿射等价)
或者简单来说，可以这么考虑，你看这个圆形的空洞，它有上下两条平行的切线，这两条平行切线不可能同时平分一个三角形（或者更一般地，平面上任意一个连通图形）的面积，于是，更一般地，切线组成的包络不可能中间有空洞 |
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发表于 2020-9-24 12:57
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