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[几何] 塞瓦三角形反演得到一个共点

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-8-3 00:16 编辑

K是△ABC的欧拉线上一点,其塞瓦三角形为△DEF,D、E、F关于外接圆的反演点分别为M、N、L,证明: (1)AM、 BN、CL共点K'; (2)K'的轨迹是一锥线.(by zjm)
(1)的证明:(by踏雪无痕)
200521000849253bb8d700100f.jpg
2020-8-1 22:26

$\frac{\sin \angle{BAM}}{\sin \angle {CAM}}= \frac{BM}{CM}\cdot \frac{\sin \angle {ABM}}{\sin \angle {ACM}}$
$\because\frac{BM}{CM}=\frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle AKB}}{S_{\triangle AKC}}=\frac{S_{\triangle AOB}+3 kS_{\triangle AGB}}{S_{\triangle AOC}+3 kS_{\triangle AGC}}=\frac{R^2 \sin 2 C+4 kR^2 \sin A \sin B\sin C}{R^2 \sin 2 B+4 {kR}^{2} \sin {A} \sin {B} \sin {C}}=\frac{ \sin 2 C+4 k \sin A \sin B\sin C}{ \sin 2 B+4 k^2 \sin {A} \sin {B} \sin {C}},$
$\frac{\sin \angle {ABM}}{\sin \angle {ACM}}=\frac{\sin \angle {ABM}}{\sin \angle {ACM}}=\frac{\sin (\angle {ABO}+\angle{OBM})}{\sin (\angle {ACO}+\angle {OCM})}=\frac{\sin (\angle {ABO}+\angle {ODB})}{\sin (\angle {ACO}+\angle {ODC})}=\frac{\sin \angle {AOQ}}{\sin \angle {AOP}}=\frac{AQ}{AP},$
$\therefore$
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