免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[几何] 圆内接四边形的面质心和外心重合的条件

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-8-3 21:52 编辑

四个不同的点$A_1,A_2,A_3,A_4$依次排列在圆周O上,四边形面片$A_1A_2A_3A_4$不是矩形,且质心为G,则O=G⇔$A_1A_2A_3A_4$为矩形,或$∠A_1OA_2=∠A_3OA_4=120°$,或$∠A_2OA_3=∠A_4OA_1=120°$.
用复数法证明如下:
取外接圆为单位圆,$A_i$,对应复数为$a_i$,则O=G⇔$\sum (a_1+a_2)S_{OA_1A_2}=0$⇔$\sum (a_1+a_2)(\frac{a_1}{a_2}-\frac{a_2}{a_1})=0$,即$\sum\frac{a_1^2}{a_2}=\sum\frac{a_2^2}{a_1}$①,两边取共轭得到$\sum\frac{a_1}{a_2^2}=\sum\frac{a_2}{a_1^2}$②.
200521000849253bb8d700100f.jpg
2020-8-2 22:21

继续证明:①⇔$a_3 a_1^2+a_3^2 a_1-a_2 a_4^2-a_2^2 a_4=0$③,②⇔$a_1^2 a_2 a_3^2+a_1^2 a_4 a_3^2-a_2^2 a_4^2 a_3-a_1 a_2^2 a_4^2=0$④,对③④关于$a_4$计算结式:$a_1^2 a_2a_3^2 \left(a_1-a_2\right)  \left(a_2-a_3\right) \left(a_1+a_3\right) \left(a_1^2+a_2 a_1+a_2^2\right) \left(a_2^2+a_3 a_2+a_3^2\right)=0$,因为顶点不重合,所以有以下三种情况:
(1)$a_1+a_3=0$,代回得$a_2+a_4=0$,故$A_1A_2A_3A_4$为矩形.
(2)$a_1^2+a_2 a_1+a_2^2=0$⑤,即$∠A_1OA_2=120°$,对③⑤关于$a_1$计算结式,$a_2^2 \left(a_2^2-a_3 a_2+2 a_4 a_2+a_3^2+a_4^2-a_3 a_4\right) \left(a_3^2+a_4 a_3+a_4^2\right)=0$,分两种情况:
(2.1)$a_2^2-a_3 a_2+2 a_4 a_2+a_3^2+a_4^2-a_3 a_4=0$,两边取共轭,$a_3^2 a_2^2+a_4^2 a_2^2-a_3 a_4 a_2^2-a_3 a_4^2 a_2+2 a_3^2 a_4 a_2+a_3^2 a_4^2=0$,关于$a_4$计算结式,$\left(a_2-a_3\right)^2 \left(a_2^2+a_3 a_2+a_3^2\right) \left(a_2^4-a_3 a_2^3+3 a_3^2 a_2^2-a_3^3 a_2+a_3^4\right)=0$,分两种情况:
(2.1.1)$a_2^2+a_3 a_2+a_3^2=0$,故$∠A_1OA_2=∠A_2OA_3=120°$,即$A_1A_2A_3$为等边三角形,此时$G_{123}=O,G_{234}G_{412}∥A_3A_1$,因为顶点不能重合,所以此情况无解.
(2.1.2)$a_2^4-a_3 a_2^3+3 a_3^2 a_2^2-a_3^3 a_2+a_3^4=0$,与⑤关于$a_2$计算结式,得到$\left(a_1^4+2 a_3 a_1^3-a_3^3 a_1+a_3^4\right) \left(a_1^4-a_3 a_1^3+2 a_3^3 a_1+a_3^4\right)=0$,计算得$t^4+2t^3-t+1=0$和$t^4-t^3+2t+1=0$均没有模为1的根,所以此情况无解.
(2.2)$a_3^2+a_4 a_3+a_4^2=0$,即$∠A_1OA_2=∠A_3OA_4=120°$
(3)$a_2^2+a_3 a_2+a_3^2=0$,与(2)类似
综上,$A_1A_2A_3A_4$为矩形,或$∠A_1OA_2=∠A_3OA_4=120°$,或$∠A_2OA_3=∠A_4OA_1=120°$.
200521000849253bb8d700100f.jpg
2020-8-3 21:52
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-8-3 17:30 编辑

换个思路:
$OG_{412}G_{234}$共线⇔$\left |
   \begin {array} {ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a_ 4+ a_1 + a_ 2 & a_ 2 +
            a_ 3 + a_ 4 \\ 0 &\frac {1} {a_ 4} + \frac {1} {a_ 1} + \frac {1} {a_ 2} &\frac {1} {a_ 2} + \frac {1} {a_ 3} + \frac {1} {a_4} \\\end {array} \right| $⇔$-a_4 a_2(a_4+a_2)=\sum a_1 a_2 a_3$
故O=G⇔$-a_3a_1(a_3+a_1)=-a_4 a_2(a_4+a_2)=\sum a_1 a_2 a_3$
计算$A_1A_3,A_2A_4$的交点P对应的复数:$p=\frac{a_1a_3(a_2+a_4)-a_2a_4(a_1+a_3)}{a_1a_3-a_2a_4}$
我们要证明$A_1A_2P$是等边三角形⇔$a_1^2+a_2^2+p^2=a_1 a_2+p(a_1+a_2)$⇔$a_1^2 a_3^2+a_4^2 a_3^2-a_1 a_4 a_3^2-a_2 a_4^2 a_3-a_1 a_2 a_4 a_3+a_2^2 a_4^2=0$

TOP

回复 2# hbghlyj
这个思路走不下去了,但是1#的证法是正确的。

TOP

返回列表 回复 发帖