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[几何] 抛物线内过定点互相垂直弦中点连线过定点

QQ截图20200724012349.png
2020-7-24 01:53


命题:抛物线内一定点 `P`,弦 `AB`, `CD` 过 `P` 且互相垂直,`AB`, `CD` 的中点为 `M`, `N`,抛物线对称轴与 `MN` 交于 `K`,则 `K` 为定点。

看以下证明前请先熟悉 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6808 中的性质。

QQ截图20200724020155.png
2020-7-24 02:02


证明:记 `l_P` 为 `P` 的极线,过 `M`, `N` 作对称轴的平行线交抛物线于 `M_1`, `N_1`,交 `l_P` 于 `M_2`, `N_2`,对称轴交 `l_P` 于 `J`,如上图所示。

由极点极线性质知 `A`, `B` 两处的切线的交点在 `l_P` 上,而根据链接中的性质(1)知该交点在直线 `MM_1` 上,所以该交点就是 `M_2`,于是根据链接中的性质(2)知 `M_1` 为 `MM_2` 中点,同理 `N_1` 为 `NN_2` 中点。

根据链接中的性质(3)知 `M_1` 处的切线平行于 `AB`,`N_1` 处的切线平行于 `CD`,故此 `M_1`, `N_1` 两处的切线互相垂直,所以 `M_1N_1` 过焦点 `F`,结合刚才推出的 `M_1`, `N_1` 为 `MM_2`, `NN_2` 中点,可见 `F` 也为 `JK` 中点,而 `J`, `F` 均为定点,从而 `K` 为定点。
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研究上述命题的起因是昨天人教群里有这样一题:
内蒙古黄老师(1443******) 2020/7/22 11:17:59
QQ图片20200724021631.png
2020-7-24 02:21

各位大神,请教第3问
这题表面看上去感觉像是初中题,但这第 3 问在高中也算难……难道有很简单的方法,或者是我感觉错?

PS、这题虽然两直线不是垂直,但斜率之和为 `-4`,那么作伸缩变换,沿 `y` 轴方向压缩至 `1/2` 倍,就是互相垂直了……
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