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[几何] 收集垂足三角形面积公式的证法

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-2-25 15:20 编辑

P点的垂三角形是LMN,则$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}}=\frac{|R^2-OP^2|}{4R^2}=\frac{|R^2-OP^2|}2\sin A\sin B\sin C$.
证明
方法1.三线坐标
方法2.设BP交外接圆于$B_2$,则$S_{LMN}=\frac12LM·LN\sin\angle MLN=\frac12LM·LN\sin\angle B_2CP=\frac12PC\sin C·PB\sin B·\sin\angle B_2CP,$由正弦定理,$\frac{\sin\angle B_2CP}{\sin \angle BB_2C}=\frac{PB_2}{PC}$,所以$S_{LMN}=\frac12PB·PB_2\sin\angle BB_2C\sin B\sin C=\frac{|R^2-OP^2|}2\sin A\sin B\sin C$.
等面三面角.png
2020-7-16 12:24

方法3.设AP,BP,CP交外接圆于$A_2,B_2,C_2$,$\triangle A_2B_2C_2$的三边为$a_2,b_2,c_2$,则$\triangle LMN\sim\triangle A_2B_2C_2$($\triangle LMN$中的点P与它关于$\triangle A_2B_2C_2$的等角共轭相似对应,反过来,$\triangle A_2B_2C_2$中的点P与它关于$\triangle LMN$的等角共轭相似对应),$MN=AP\sin A=\frac{AP\cdot BC}{2R}\implies\frac{MN}{B_2C_2}=\frac{MN}{BC}\frac{BC}{B_2C_2}=\frac{AP}{2R}\cdot\frac{CP}{B_2P}$,而$B_2P\cdot BP=|OP^2-R^2|$,从而,$\frac{S_{LMN}}{S_{A_2B_2C_2}}=\left(\frac{MN}{B_2C_2}\right)^2=\frac{(AP⋅BP⋅CP)^2}{4R^2(OP^2-R^2)^2}$.$\triangle ABC$和$A_2B_2C_2$的外接圆半径相等,于是$\frac{S_{ABC}}{S_{A_2B_2C_2}}=\frac{abc}{a_2b_2c_2}$.
$a_2=\frac{a⋅B_2P}{CP}\implies\frac{a_2}a=\frac{B_2P}{CP}=\frac{|OP^2-R^2|}{BP⋅CP},\implies\frac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=\frac{|OP^2-R^2|^3}{(AP⋅BP⋅CP)^2}\implies\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}}=\frac{S_{LMN}}{S_{A_2B_2C_2}}\cdot\frac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=\frac{(AP⋅BP⋅CP)^2}{4R^2(OP^2-R^2)^2}\cdot\frac{|OP^2-R^2|^3}{(AP⋅BP⋅CP)^2}=\frac{|R^2-OP^2|}{4R^2}$.
方法4.设AP再交圆O于P',P'的西姆松线是L'M'N',LP交MN于L'',由于位似,AL''L'共线.
$\because\frac{S_{LMN}}{S_{PMN}}=\frac{LL’’}{L’’P},\frac{S_{PMN}}{S_{P’MN}}=\frac{L’’P^2}{LP’^2}=\frac{AP·L’’P}{AP’·LP’},\frac{S_{P’MN}}{S_{P’BC}}=\frac{P’M^2}{P’C^2}=\frac{P’A^2}{4P’O^2},\therefore\frac{S_{LMN}}{S_{P'BC}}=\frac{LL’’·AP·AP'}{4P’O^2·LP’}.$
$\because\frac{LL’’}{AK}=\frac{L'L’’}{AL'}=\frac{P’P}{AP’}$
$\therefore LL’’·AP’=AK·P’P$
$\therefore \frac{S_{LMN}}{S_{P'BC}}=\frac{AK·P’P·AP}{4P’O^2·LP’}$
$\because\frac{S_{P’BC}}{S_{ABC}}=\frac{P’L}{AK},$
$\therefore \frac{S_{LMN}}{S_{ABC}}=\frac{P’P·AP}{4P’O^2}=\frac{OP’^2-OP^2}{4OP’^2}$

等面三面角.png
2020-7-16 11:53



$X_{4}$是$X_{3}$的垂足三角形与圆塞瓦三角形的相似中心.
等面三面角.gif
2021-2-25 15:19

$X_{4}$是$X_{4}$的垂足三角形与圆塞瓦三角形的相似中心.(显然)
$X_{56}$是$X_{1}$的垂足三角形与圆塞瓦三角形的相似中心.

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