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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 两个比较大小问题
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发表于 2020-7-8 18:03
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[不等式]
两个比较大小问题
本帖最后由 lemondian 于 2020-7-8 18:04 编辑
两个比较大小问题:
(1)已知$m>1,0<n<1$,且$mn\ne1$,若$m^x-m^y<n^{-x}-n^{-y}$,则$x,y$的大小关系如何?
(2)已知$0<m<1,n>1$,且$mn\ne1$,若$m^x-m^y<n^{-x}-n^{-y}$,则$x,y$的大小关系如何?
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发表于 2020-7-8 23:05
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你不觉得两个问题其实是一个问题吗
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发表于 2020-7-10 01:32
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没反应……
(1)作置换 `n\to1/n`,条件就变成 `m`, `n>1`, `m\ne n`, `m^x-n^x<m^y-n^y`,问 `x`, `y` 的大小关系;
(2)作置换 `m\to1/m`,条件就变成 `m`, `n>1`, `m\ne n`, `m^{-x}-n^{-x}<m^{-y}-n^{-y}`,问 `x`, `y` 的大小关系;
所以两个问题是一个问题,也就是 `f(x)=m^x-n^x` 的单调性问题,而这一般都有增有减,所以 `x`, `y` 的大小关系不确定。
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发表于 2020-7-10 16:49
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kuing
如果约定:x>0,y>0是不是能比较大小了?
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发表于 2020-7-10 17:08
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lemondian
你自己不会证?
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发表于 2020-7-10 22:19
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kuing
不会哩,求教!
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发表于 2020-7-10 23:14
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lemondian
求导不就得了
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