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[数列] 一道高三数列题

\begin{align*}
设等差数列\{a_n\}的前n项和为S_n,且对于任意正整数n,都有|S_{n+2020}|\geqslant |S_n|
,下列命题不一定成立的是( )
\end{align*}\begin{align*}
A.|S_{2020}|\leqslant |S_{2021}|
\end{align*}\begin{align*}
B.|S_{2021}|\leqslant |S_{2022}|
\end{align*}\begin{align*}
C.|a_{1010}|\leqslant |a_{1011}|
\end{align*}\begin{align*}
D.|a_{1011}|\leqslant |a_{1012}|
\end{align*}
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学军最后一考?

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回复 2# facebooker

是的,但没有解析

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本帖最后由 业余的业余 于 2020-7-8 11:30 编辑

排除法一猜,应该是 $C$.

说说排除逻辑。这里主要需要考虑 $a_1$ 和 $d$ 异号的情形,这时,$|a_n|$(可能,至少可以构造出)先减后增,存在一个整数 $k$, 使得当 $n>k$ 时, $a_n, d$ 与 $S_n$ 三者恒同号。因为只能选一,这个关键点只能是由 $C$ 给出的。如果$C$ 一定成立( 非"不一定成立"), $D$,$A$, $B$ 也一定成立,那就没有正确答案了,而这不符合题型要求。

具体的求解懒得想了。

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\begin{align*}
若|a_{1010}|>|a_{1011}|,因为a_n=(n-1)d+a_1,S_n=\frac{n(n-1)}{2}d+na_1
\end{align*}\begin{align*}
故令x_1=-\frac{a_1}{d}+1,x_2=-\frac{2a_1}{d}+1
\end{align*}\begin{align*}
所以x_2>2020,|S_n|=|-\frac{n}{2}d(-\frac{2a_1}{d}-(n-1))|=|\frac{d}{2}(n^2-x_2n)|
\end{align*}\begin{align*}
同理,|S_{n+2020}|=|\frac{d}{2}(n^2+(4040-x_2)n+2020^2-2020x_2)|
\end{align*}\begin{align*}
因为对于任意正整数n,都有|S_{n+2020}|⩾|S_n|
,即如图所示x_3\leqslant 1
\end{align*}\begin{align*}
得\sqrt{{x^2_2}-2020^2}\leqslant 2022-x_2,显然存在x_2使之成立,故C不一定成立
\end{align*}
Snipaste_2020-08-02_11-58-07.png

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