条件好吓人喔，然仅此而已……
由
\[(1+1+1)(b+c+a)\left( \frac{a^3}b+\frac{b^3}c+\frac{c^3}a \right)\geqslant(a+b+c)^3,\]得到
\[a+b+c\leqslant3.\]
记 `p=a+b+c`, `q=ab+bc+ca`, `r=abc`，原不等式即
\[12+3r\geqslant7p-2p^2+4q.\]
（1）若 `4q\leqslant p^2`，则
\[\text{右}\leqslant7p-p^2=12-(4-p)(3-p)\leqslant12<\text{左};\]
（2）若 `4q>p^2`，由 \schur 不等式有
\[r\geqslant\frac{4pq-p^3}9,\]于是只需证
\[12+\frac{4pq-p^3}3\geqslant7p-2p^2+4q,\]作差分解为
\[\frac13(3-p)(p^2-3p+12-4q)\geqslant0,\]而由 `p^2\geqslant3q` 得
\[p^2-3p+12-4q\geqslant-\frac13p^2-3p+12=\frac13(3-p)(p+12)\geqslant0,\]所以不等式成立。 |
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发表于 2020-7-4 20:56
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发表于 2020-7-5 02:12
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