本帖最后由 hbghlyj 于 2020-6-30 22:50 编辑
求所有连续函数f(x)满足$f(x)=-f(x^{-1}),\forall x\in\mathbf R^+$
容易得出所有的解为\[f(x)=g(\ln(x))\ldots\ldots(1)\]其中g(x)是任意在$\mathbf R^+上$连续的奇函数
但是有一位同学的答案是\[f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} c_k(x^k-x^{-k})\ldots\ldots(2)\]其中$c_k(k=±1,±2,\cdots)$是任意实数
这个答案是否包含所有的解？
例如
$f(x)=\ln x$
$f(x)=\arctan x-\frac\pi4$
它们能否表示为(2)的形式？ |
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发表于 2020-6-30 21:54
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