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[函数] 三角形中,a cosC+c cos B=a sinA,判断形状。

能猜出直角三角形这个答案,但证起来有些困难呢。
好奇这道题这么难弄的原因是啥: )
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本帖最后由 hejoseph 于 2020-6-17 21:19 编辑

并不一定是直角三角形,下面就是反例
1.png
2020-6-17 21:17

不是直角三角形的条件非常复杂

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回复 2# hejoseph


将已知平方后,用余弦定理强制化边,其中有一个因式是$a^2+c^2=b^2$,另一个因式复杂,正举棋不定,这个反例来得及时,我还得继续想想

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本帖最后由 郝酒 于 2020-6-18 08:56 编辑

感谢何版、iC大侠的提示。
确实感觉这个sinA弄不动,所以平方后用平方关系就可以了。
丢到电脑里算,算出这么个东西:
$\frac{\left(a^2-b^2+c^2\right) \left(a^4 (a-b) (a+b)-c^2 \left(2 a^4-2 a^3 b-2 a b^3+b^4\right)+c^4 (a-b)^2\right)}{4 a^2 b^2 c^2}$
不知道何版是不是这个思路。
接着弄了弄,用a=x+y,b=y+z,c=z+x代换,发现也没弄出来何版这个解。ContourPlot3d画出了这个图。

a,b,c的约束

判断三角形形状难题.jpg
2020-6-18 08:56

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回复 4# 郝酒

?解有无数个,2# 只是其一,为啥一定要弄出那个解……
可以随便找个不难看的精确解如
`a=4`, `b=12`, `c=\sqrt{46+6\sqrt{73}}`
`a=12`, `b=4`, `c=\sqrt{206-2\sqrt{241}}`
等……

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现在能确定的是,这个三角形一定不是锐角三角形,可以证明以下的:

命题:若 `\triangle ABC` 为锐角三角形,则 `a\cos C+c\cos B>a\sin A`。

我的证法有点 Baoli,先不贴,还是你们先来……

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回复 6# kuing

我是严重怀疑,这个题本来是 $b\cos C+c\cos B=a\sin A$,这就真是 $\angle A$ 为直角的直角三角形了,非常小的一道小题。

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回复 5# kuing

我的意识是能找到何版这个解的精确表达式,结果按这个近似程度代进去后发现精度只到万分之一。
所以用x,y,z代换求解,没成功,所以有这么句话。
那个曲面的形状还挺好看的。我发现高次曲面很有意思呢: )

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回复 7# isee

随便啦,无论有意还是无意,反正现在 6# 的命题还是可以玩玩的……
抄错题后反而更有玩头的事偶尔也有发生(虽然多数时候是被坑……

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还是把 6# 的证明给贴了吧……
命题:若 `\triangle ABC` 为锐角三角形,则 `a\cos C+c\cos B>a\sin A`。

首先化角,等价于证
\[\sin A\cos C+\sin C\cos B>\sin^2A,\]令 `D=\pi-2A`, `E=\pi-2B`, `F=\pi-2C`,由 `\triangle ABC` 是锐角三角形知 `D`, `E`, `F\in(0,\pi)`, `D+E+F=\pi`,所以等价于证:任意 `\triangle DEF` 中恒有
\[\cos\frac D2\sin\frac F2+\cos\frac F2\sin\frac E2>\cos^2\frac D2,\]对 `\triangle DEF` 作内切圆代换(即 `DE=x+y` 等),则
\begin{align*}
\cos\frac D2\sin\frac F2
&=\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{(z+x)(x+y)}}\sqrt{\frac{xy}{(y+z)(z+x)}}\\
&=\frac{x\sqrt{y(x+y+z)(x+y)(y+z)}}{(x+y)(y+z)(z+x)}\\
&>\frac{xy(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)},
\end{align*}同理有
\[\cos\frac F2\sin\frac E2>\frac{zx(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)},\]相加即得
\[\cos\frac D2\sin\frac F2+\cos\frac F2\sin\frac E2>\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(z+x)}=\cos^2\frac D2,\]即得证。

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