[不等式] 一道证明题，一道求范围

1.若$a,b,c>0$，证明：$\dfrac{ab+2}{2c+1}+\dfrac{bc+2}{2a+1}+\dfrac{ca+2}{2b+1}\geqslant 3$.
2.已知$a,b\inR$，$f(x)=\dfrac{x^2+ax+b+|x^2-ax-b|}{2}$的最小值为$b^2$，求$b$的取值范围。

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kuing

2^#

发表于 2020-6-11 15:33 | 只看该作者

第一题半天没想出简单方法，还是先撸一下第二题比较简单……

易知 `f(x)=\max\{x^2,ax+b\}`，于是想象一下图像可知：
如果 `b<0`，那么 `f(x)` 的最小值一定是零，不符合；
当 `b\geqslant0` 时，由对称性不妨设 `a\geqslant0`，则当 `x` 取 `x^2=ax+b` 的负根时 `f(x)` 最小，可得
\[f(x)_{\min}=\left( \frac{a-\sqrt{a^2+4b}}2 \right)^2,\]所以 `\sqrt{a^2+4b}-a=2b`，即 `\sqrt{a^2+4b}+a=2`，显然必有 `a\leqslant1`，移项平方解得 `b=1-a\in[0,1]`。

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kuing

3^#

发表于 2020-6-13 16:16 | 只看该作者

现在来撸第一题，虽然证得不太好看，还是写写吧……

先证一个简单引理：设 `x`, `y`, `z>0`，则有
\[2+\frac1{x+y+z+1}>\frac1{x+1}+\frac1{y+1}+\frac1{z+1}\geqslant\frac9{x+y+z+3}.\]引理的证明是很简单的，右边 CS，左边移项变成
\[\frac x{x+1}+\frac y{y+1}>\frac{x+y}{(x+y+z+1)(z+1)},\]显然有
\[\frac x{x+1}+\frac y{y+1}>\frac{x+y}{x+y+1}>\frac{x+y}{(x+y+z+1)(z+1)},\]引理得证。

回到原题，不妨设 `a\geqslant b\geqslant c`，则 `ab+2\geqslant ca+2\geqslant bc+2` 且 `1/(2c+1)\geqslant1/(2b+1)\geqslant1/(2a+1)`，所以由排序不等式有
\begin{align*}
\sum\frac{ab+2}{2c+1}&\geqslant\sum\frac{bc+2}{2c+1},\\
\sum\frac{ab+2}{2c+1}&\geqslant\sum\frac{ca+2}{2c+1},
\end{align*}相加得
\[2\sum\frac{ab+2}{2c+1}\geqslant\sum\frac{c(a+b)+4}{2c+1},\]所以只需证明如下更强式
\[\sum\frac{c(a+b)+4}{2c+1}\geqslant6,\quad(*)\]记 `a+b+c=3m`，则
\[\frac{c(a+b)+4}{2c+1}=\frac{c(3m-c)+4}{2c+1}=\frac14(6m+1)-\frac c2+\frac{3(5-2m)}{4(2c+1)},\]所以
\[\sum\frac{c(a+b)+4}{2c+1}=3m+\frac34+\frac34(5-2m)\sum\frac1{2c+1},\]然后分两类：

（1）当 `m\leqslant5/2` 时，由引理得
\[\sum\frac{c(a+b)+4}{2c+1}\geqslant3m+\frac34+\frac34(5-2m)\cdot\frac9{6m+3}=\frac{6(m^2+2)}{2m+1}=6+\frac{6(m-1)^2}{2m+1};\]（2）当 `m>5/2` 时，由引理得
\[\sum\frac{c(a+b)+4}{2c+1}>3m+\frac34+\frac34(5-2m)\left( 2+\frac1{6m+1} \right)=8+\frac4{6m+1}.\]两种情况都显然 `\geqslant6`，所以式 (*) 成立，原不等式得证。

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kuing

4^#

发表于 2020-6-13 16:36 | 只看该作者

值得一提的是，将式 (*) 再与原不等式相加可得
\[\frac1{2a+1}+\frac1{2b+1}+\frac1{2c+1}\geqslant\frac9{ab+bc+ca+6},\]虽然弱于式 (*) 但无疑更好看。

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yao4015

5^#

发表于 2020-6-15 15:06 | 只看该作者

这个第一题可能使用ABC定理要容易些. 但你得先知道ABC定理是怎么证的.

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力工

6^#

发表于 2020-6-15 15:46 | 只看该作者

回复 5# yao4015
科普下$ABC$是啥定理?

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yao4015

7^#

发表于 2020-6-15 16:17 | 只看该作者

回复 6# 力工

ABC 是 Abstract Concreteness Method 的简称. 有很多讲这个方法的资料. 它的主要内容是说三个变量的对称多项式不等式, 如果次数不超过5. 则只需证明有两个变元相等, 或有一个变元为 0 时成立就可以了. 有一本有名的书<Diamonds in mathematical inequalities> 上面讲得比较仔细. 有兴趣可以找来看看. 我现在越来越懒了,不想写东西了.

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