免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[函数] 2015年文科全国卷1导数压轴题

一道久远的高考题:2015年文科全国卷1:
设函数$f(x)=e^{2x}-alnx$。
(1)讨论$f(x)$的导函数$f'(x)$的零点个数;
(2)证明:当$a>0$时,$f(x)\geqslant 2a+aln\dfrac{2}{a}$。
对于问题(2),利用(1),隐零点,均值不等式,可证得。
前一阵子,在网上无意中看到利用变更主元法也可证,可惜没记录下来,现在找不到了,也证不出来,不知那位能提供一下这种证法?
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

就是视为a的函数 对a求导 最后要证明 $e^x\geqslant ex$即可

TOP

回复 2# facebooker
可以写一下吗?谢谢!

TOP

哪用变啥导啥啊……
\[e^{2x}-a\ln x\geqslant2a+a\ln\frac2a\iff\frac{e^{2x}}a\geqslant2+\ln\frac{2x}a,\]由 `e^x\geqslant 1+x` 以及 `x-1\geqslant\ln x` 得
\[LHS=e^{2x-\ln a}\geqslant1+2x-\ln a\geqslant2+\ln(2x)-\ln a=RHS.\]就这么简单……

TOP

本帖最后由 isee 于 2020-6-5 16:53 编辑

回复 4# kuing


这样是好,可惜会把大把大把的文科生(当然,今年是最后一年文科生了)吓走——当然这对你是白扯,主要不复杂~

直接求最小值,简明高效,啥也别变。

$a>0\Rightarrow f'(x)=2{\mathrm e}^{2x}-\frac ax,x>0$是单调递增的。
且$2{\mathrm e}^{2x}=\frac ax$由图象关系有且仅一个交点,于是$f'(x)=0$有惟一的零点$x_0>0$满足$2{\mathrm e}^{2x_0}-\frac a{x_0}=0\Rightarrow -a\ln x_0=2ax_0+a\ln\frac 2{a}$。$f(x)$在$(0,x_0)$单调递减,在$(x_0,+\infty)$单调递增,所以$f(x)$有最小值:
\begin{align*}
f'(x_0)&={\mathrm e}^{2x_0}-a\ln x_0\\
&=\frac a{2x_0}+2ax_0+a\ln\frac 2a\\
&\geqslant 2a+a\ln \frac 2a
\end{align*}
也没几行,,,

TOP

回复 5# isee
这个就是标答来的,我在一楼也说明了,文科生可能这样好懂些

TOP

回复 4# kuing
很好的方法。
我主要想看看用$a$作为主元的方法

TOP

哦,原来是这样
60502.jpg
2020-6-5 21:47

TOP

返回列表 回复 发帖