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请教$A$是闭集当且仅当$A$中的收敛点列收敛到$A$中。

如题。设$\{x_n\}$是$A$中任意一个收敛点列,$\{x_n\}$收敛到$a$,求证$A$是闭集当且仅当$a \in A$。
充分性我证明完了,必要性我没证明出来,请问应该怎么证明?
必要性就是:已知对任意一个收敛点列$\{x_n\}\subset A$都有$\lim_{n\to\infty}x_n=a\in A$,求证$A$是闭集。

下面是一些定义:
闭集定义为:开集对全空间的补集。
开集定义为:对任意的$x \in A$,$x$都是$A$的内点,则称$A$是开集。
内点定义为:对全空间中的集合$A$,若存在开圆$B(a,r) \subset A$,则$a$是$A$的内点。
开圆定义为:集合$B(a,r)=\{x属于全空间: |x-a|<r\}$,称$B(a,r)$为开圆。

我已经证明的可能有用的结论有:
$A$是闭集当且仅当$A=\overline{A}$,其中$\overline{A}$是$A$的闭包。
闭包定义为:$A$的全体接触点构成的集合。
接触点定义为:设集合$A$和点$x$都属于全空间,若对任意的$\varepsilon>0$,都有$B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing$,则点$x$称为$A$的接触点。
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比较笨的一个想法

所求$\iff A=\bar{A}\iff A 的所有接触点  \in A \iff 不存在A的接触点 \notin A$

反证法,假定存在 $A$ 的接触点 $x$ 不属于 $A$, 由接触点的定义,显然可构造一个$A$ 中的点列,使其到 $x$ 的距离趋于0. 或用术语说,这些点包含在半径越来越小的开圆之中。也就是说 $x$ 可表示为 $A$ 中点列的极限, 故$x$ 属于 $A$. 矛盾。假设不成立,所求得证。

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本帖最后由 abababa 于 2020-5-1 18:54 编辑

回复 2# 业余的业余

谢谢,这个意思我能明白,具体证明的时候,我觉得自己有些逻辑顺序上还有问题。下面是我重新整理的思路,觉得还是$x_{\frac{1}{\varepsilon}}$对应到$x_n$这里没说清。

假设存在一点$a \in \overline{A}$但$a \not\in A$,由于$a \in \overline{A}$,由闭包的定义知$a$是$A$的接触点,由接触点的定义知对任意的$\varepsilon > 0$都存在$B(a,\varepsilon) \cap A \neq \varnothing$,不妨设$x_{\frac{1}{\varepsilon}} \in B(a,\varepsilon) \cap A$。令$\varepsilon = \frac{1}{n}$,于是当$n \to \infty$时序列$x_n \in B(a,\frac{1}{n}) \cap A$。而$n \to \infty$时$\abs{x_n-a} < \frac{1}{n} \to 0$,因此序列$x_n$收敛到$a$,于是存在一个$A$中的收敛序列$\{x_n\}$且$\lim_{n \to \infty}x_n = a \not\in A$,这与对任意一个收敛点列$\{x_n\} \subset A$都有$\lim_{n \to \infty}x_n = a \in A$矛盾,因此对任意的$a \in \overline{A}$都有$a \in A$,即$\overline{A} \subset A$,而由闭包的定义显然有$A \subset \overline{A}$,因此$A = \overline{A}$,由已经证得的命题知$A$是闭集。

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本帖最后由 业余的业余 于 2020-5-2 00:49 编辑

表达得很清晰了啊。也可以这样构造点列:

定义系列的开圆 $B_n=B(a,\frac 1{2^n})$, 不妨说从$n=i (i\in \mathbb{N}^*)$ 开始 $A\cap B_i\ne \varnothing$, 把 $B_i, B_{i+1}, \cdots$ 称为 $C_1, C_2, \cdots$, 称 $C_i\backslash C_{i+1}$ 为 $D_i$, 显然 所有的 $D_i$ 非空,且 disjoint, 且 $D_i \subset A$. 从$D_i$中相继取出 $x_i (x_i\in D_i)$ 构造点列 $\{x_i\}$, 显然 $x_i\in A$ 且$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n = a$



隐含使用了选择公理,不知道有没有更直接的、绕过选择公理的证法。

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回复 4# 业余的业余

谢谢,网友给我讲过这是一个拓扑性质,其实不需要用到距离的概念,不过暂时还没往那方面看。我看的复变函数,里面有一章介绍了一些点集的概念,想着把这些都证明一下,有些对我来说还是难度很大。
这里就是$x_{1/\varepsilon}$这个取法,刚开始取的是$x_{\varepsilon}$,然后令$\varepsilon=\frac{1}{n}$,但这时$x_{\varepsilon}$不就变成$x_{\frac{1}{n}}$了吗,觉得和$x_n$对应不起来。后来意识到$x_{\frac{1}{n}}$其实也是一个序列。

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本帖最后由 业余的业余 于 2020-5-4 02:42 编辑

谢谢分享,向你学习。复变的教材我下了好几本,暂时还不敢下牙齿 :)

PS: 用了开圆的概念其实就变相地定义了距离吧?空间两点 $x,y$, 如果存在非负数 $d$ 使得 $y\in B(x,d)$ 且 $\forall s\big( s>d\implies y\notin B(x,s)\big)$ 就可定义 $D_{xy}=d$。

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回复 6# 业余的业余

但是可以不定义开圆,而只定义邻域:对点$a$存在一个集合$B$,使得$a \in B \subset \Omega$,其中$\Omega$是拓扑,就能避免距离的使用。或者直接从拓扑的定义,先定义出开集,再从开集定义邻域。不过这些我都只听网友讲过,暂时没什么兴趣和精力学。

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