[不等式] 大家来加强一个数列和不等式

原题是：证明$\sum_{1}^{n}\dfrac{n\sqrt{n}-1}{2^n\sqrt{n}}<\dfrac{3}{2}$.
我把它加强为证明：$\sum_{1}^{n}\dfrac{n\sqrt{n}-1}{2^n\sqrt{n}}<\dfrac{4}{3}$.
想请大家来加强下。

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hbghlyj

2^#

发表于 2020-4-22 22:38 | 只看该作者

回复 1# 力工

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kuing

3^#

发表于 2020-4-22 22:51 | 只看该作者

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\sqrt n-1}{2^n\sqrt n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac n{2^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n\sqrt n}=2-\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac1{2^{n-1}}-\frac1{2^n} \right)\frac1{\sqrt n}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}\left( \frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}} \right),\]然后这里随便放一下吧，易证
\[\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}}\leqslant\left( 1-\frac1{\sqrt2} \right)\frac1n,\]仅当 `n=1` 取等，于是
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\sqrt n-1}{2^n\sqrt n}<1+\left( 1-\frac1{\sqrt2} \right)\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^nn}=1+\left( 1-\frac1{\sqrt2} \right)\ln2\approx1.20302.\]

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力工

4^#

发表于 2020-4-23 07:14 | 只看该作者

回复 3# kuing
大神出手！高，更紧了。

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kuing

5^#

发表于 2020-4-24 17:15 | 只看该作者

补充说明一下 3# 用到的以下两个级数：
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac n{2^n}&=2,\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^nn}&=\ln2.
\end{align*}
设 $\abs x<1$，则
\[\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots,\]求导后再两边乘 `x` 得
\[\frac x{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+\cdots,\]另一方向由泰勒有
\[-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\cdots,\]以上两式代 `x=1/2` 即得。

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