补充说明一下 3# 用到的以下两个级数:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac n{2^n}&=2,\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^nn}&=\ln2.
\end{align*}
设 $\abs x<1$,则
\[\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots,\]求导后再两边乘 `x` 得
\[\frac x{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+\cdots,\]另一方向由泰勒有
\[-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\cdots,\]以上两式代 `x=1/2` 即得。 |