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三个根的实部满足的方程

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-20 23:11 编辑

(1)求实数p,q,使方程$x^3+px+q=0$的三个根的实部均满足方程$x^2+px+q=0$
1°方程有一个实根a和一对共轭虚根$b\pm ci(a,b,c\in\mathbf R,a\ne b,c\ne0)$
$(x-a) \left((x-b)^2+c^2\right)=x^3+x^2 (-a-2 b)+x \left(2 a b+b^2+c^2\right)-a b^2-a c^2,$
$\led-a-2 b=0\\2 a b+b^2+c^2=-a-b\\-a b^2-a c^2=a b\endled$
解得$(a,b,c)=\left(1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)\left(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$,即$p=q=-\frac{1}{2}$
2°方程有一个实根a和一对共轭虚根$a\pm bi(a,b\in\mathbf R,b\ne0)$
$\led-3 a=0\\-a^3+a \left(3 a^2+b^2\right)+a^2-a b^2=0\endled$
a=0,b为任何非零实数,此时,p为任何正数,q=0.
3°方程有三个实根$a,b,b(a,b\in\mathbf R,a\ne b)$
$\led a+2 b=0\\2 a b+b^2=-a-b\\-a b^2=a b\endled$无解
4°方程有三个实根$a,a,a(a\in\mathbf R)$,p=q=0
综上所述,$p=q=-\frac{1}{2}$,或者,p为任何非负数且q=0.
(2)求实数p,q,使方程$x^4+px+q=0$的四个根的实部均满足方程$x^2+px+q=0$
1°方程有两对共轭虚根$a\pm bi,c\pm di(a,b,c,d\in\mathbf R,a\ne c,bd\ne0)$
$((x - a)^2 + b^2) ((x - c)^2 + d^2)=x^4+x^3 (-2 a-2 c)+x^2 \left(a^2+4 a c+b^2+c^2+d^2\right)+x \left(-2 a^2 c-2 a c^2-2 a d^2-2 b^2 c\right)+a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2$
$\led -2 a-2 c=0\\a^2+4 a c+b^2+c^2+d^2=0\\-2 a^2 c-2 a c^2-2 a d^2-2 b^2 c=-a-c\\a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2=a c\endled$无解
2°方程有两对共轭虚根$a\pm bi,c\pm di(a,b,c,d\in\mathbf R,a\ne c,bd\ne0)$
3°方程有两个实根$a,b$和一对共轭虚根$a\pm ci(a,b,c\in\mathbf R,c\ne0)$
$(x - a) (x - b) ((x - a)^2 + c^2)=x^4+(-3 a - b) x^3+ (3 a^2 +     3 a b + c^2) x^2+ (-a^3 - 3 a^2 b - a c^2 - b c^2) x +a^3 b + a b c^2 $
4°方程有四个实根$a,a,a,a$
5°方程有四个实根$a,a,a,b$
6°方程有四个实根$a,a,b,b$
(3)求p,q,r应满足的条件,使实系数方程$x^3+px^2+qx+r=0$的三个根的实部均满足方程$px^2+qx+r=0$
1°方程有一个实根a和一对共轭虚根$b\pm ci(a,b,c\in\mathbf R,a\ne b,c\ne0)$
$\led 2 a b+b^2+c^2=a b\\-a-2 b=-a-b\endled$无解
2°方程有一个实根a和一对共轭虚根$a\pm bi(a,b\in\mathbf R,b\ne0)$,a=0,b为任何非零实数,p=r=0,q为任意正数
3°方程有三个实根$a,b,b(a,b\in\mathbf R,a\ne b)$,b=0,a为任何非零实数,p为任何非零实数,q=r=0
4°方程有三个实根$a,a,a(a\in\mathbf R)$,p=q=r=0
综上所述,p=r=0,q为任意正数,或者q=r=0,p为任何实数
(4)求p,q,r应满足的条件,使实系数方程$x^3+px^2+qx+r=0$的三个根的实部均满足方程$x^3+qx+r=0$
(5)求p,q,r应满足的条件,使实系数方程$x^3+px^2+qx+r=0$的三个根的实部均满足方程$x^3+px^2+r=0$
(6)求p,q,r应满足的条件,使实系数方程$x^3+px^2+qx+r=0$的三个根的实部均满足方程$x^2+px+q=0$

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