回复 1# facebooker
这还搞的什么最大值....干脆直接求所有可能值得了
首先$a_{n+1}=\pi\sin(a_n)$,说明当$n\ge 2$时,肯定有
\[a_{n}\in[-\pi,\pi]\]
而$(a_k-\frac{\pi}{2})a_{k+1}=(a_k-\frac{\pi}{2})\pi\sin(a_k)>0$只有一个$k$成立,意味着$a_n\ge 0$才行,因为这个玩意只要$a_k<0$就必然成立(注意这里没必要去考虑$a_k=-\pi$这样的极端情况,因为这样$a_{k+1}=0$了,后面全是$0$,没啥意思),而当$a_k<0$时,会有$a_k\in(-\pi,0)$,然后
\[a_{k+1}=\pi\sin(a_k)<0\]
结果完了,$a_{k+1}$也成立了,当然是不行的
如此也就推出$a_k\ge 0$对$k\ge 2$成立,或者说$a_k\in[0,\pi]$对$k\ge 2$成立,而在这个范围内$\sin(x)$是单调的,它会有$a_{k}=\arcsin(\frac{a_{k+1}}{\pi})$是唯一的,也就是数列本身是唯一的,任意给定一个$a_n$,$n\ge 2$,我都能给你推出除了$a_1$以外的其他所有项
而当$a_k\in(\frac{\pi}{2},\pi)$时,这个也是不行的,很显然此时$(a_k-\frac{\pi}{2})\pi\sin(a_k)>0$也成立,因此$a_k\in[0,\frac{\pi}{2}$
好了,现在后面有一个叫做$a_8=a_{10}$,这样会有
\[a_8=\pi\sin(\pi\sin(a_8))=a_{10}\]
意味着$a_8,a_{10}$都是方程$x=\pi\sin(\pi\sin(x))$的其中一个解
这个东西在$[0,\frac{\pi}{2}]$里面有2个解,一个是$x=0$,一个是$1.091$左右,作为后面这个,会有
\[a_9=a_{11}=\pi\sin(1.091)=2.787>\frac{\pi}{2}\]
因此只能踢掉,唯一的可能是$a_8=a_{10}=0$
如此也就会有$a_n\equiv0$对$n\ge 2$成立,后面没必要说了吧 |