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[不等式] 一道n元不等式

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-7 07:26 编辑

设$x_1,x_2,\cdots,x_n$为正数列,求证\[\sum _{i=1}^n \frac{x_i}{\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_{i-1}+x_{i+1}+\cdots+x_n}}\geq \frac{\sqrt{n^2\left(\sum\limits _{i=1}^n x_i\right)-\left(\sum \limits_{i=1}^n \sqrt{x_i}\right)^2}}{n-1}\]
(本想放在那个代数题合集里面,怕没人鸟,还是新开帖子吧)
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为方便书写,省略和式记号的下限 `i=1` 及上限 `n`,并记 `S=x_1+x_2+\cdots+x_n`,原不等式即
\[\sum\frac{x_i}{\sqrt{S-x_i}}\geqslant\frac{\sqrt{n^2S-\left( \sum\sqrt{x_i} \right)^2}}{n-1},\]由 \holder 不等式有
\[\left( \sum\frac{x_i}{\sqrt{S-x_i}} \right)^2\sum x_i(S-x_i)\geqslant\left( \sum x_i \right)^3,\]即
\[\left( \sum\frac{x_i}{\sqrt{S-x_i}} \right)^2\geqslant\frac{S^3}{S^2-\sum x_i^2},\]所以只需证
\[\frac{S^3}{S^2-\sum x_i^2}\geqslant\frac{n^2S-\left( \sum\sqrt{x_i} \right)^2}{(n-1)^2},\]即
\[(n-1)^2S^3\geqslant\left( S^2-\sum x_i^2 \right)\left( n^2S-\left( \sum\sqrt{x_i} \right)^2 \right),\]由 `(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leqslant(ac-bd)^2` 知
\[RHS\leqslant\left( n\sqrt{S^3}-\sqrt{\sum x_i^2}\sum\sqrt{x_i} \right)^2,\]所以只需证
\[(n-1)\sqrt{S^3}\geqslant n\sqrt{S^3}-\sqrt{\sum x_i^2}\sum\sqrt{x_i},\]即
\[\sqrt{\sum x_i^2}\sum\sqrt{x_i}\geqslant\sqrt{S^3},\]由 \holder 不等式可知其显然成立,即得证。

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-7 18:48 编辑

下面是否正确?
(1)$a,b,c>0,a + b + c = 1 ,\sqrt a+ \sqrt b+ \sqrt c= \sqrt2$,则$\sum\frac{a}{\sqrt b +\sqrt c}\le\frac75\sqrt2$,取等当且仅当$\left(\frac89,\frac1{18},\frac1{18}\right)$
(2)$a,b,c,d>0,a + b + c + d = 1,\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c+\sqrt d=\frac13(2\sqrt{3}+\sqrt6),$则$\sum\frac a{\sqrt2-\sqrt a}$当$\left(\frac1{12} (6 - 2\sqrt2 - \sqrt3),\frac1{12} (6 - 2\sqrt2 - \sqrt3),\frac1{12} (6 - 2\sqrt2 - \sqrt3),\frac1{36} (6 + 2\sqrt2 + \sqrt3)\right)$时取最大值,当$\left(\frac1{12} (6 - 2\sqrt2 + \sqrt3),\frac1{12} (6 - 2\sqrt2 + \sqrt3),\frac1{12} (6 - 2\sqrt2 +\sqrt3),\frac1{36} (6 + 2\sqrt2 - \sqrt3)\right)$时取最小值

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