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[几何] 三面角最多能作几个三角形截面与给定三角形全等

给定△ABC,对于任意大小的等面三面角P-DEF,最多能作几个三角形截面与△ABC全等?
例如,若△ABC是正三角形,那么有且仅有一个三角形截面与之全等。

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-30 23:17 编辑

容易看出,最多是四个截面。由于面对称,对于一般的三角形,只能是两个或四个截面。
考虑一个极限情形,即点P是无穷远点,此时PD,PE,PF是两两距离相等的三条平行线,经过计算,只有两个截面与给定的△ABC全等,当然,它们是面对称的。
-------计算过程-----------
对于(0,0)(1,0)(a,b),下面是三条平行线的方向向量(x,y,1)的公式:(当然,关于xOy对称的方向向量就是(x,y,-1))
\[\led x&= \frac{-3 \left(\frac{1}{6} \sqrt{\left(-4 a^2+4 a-4 b^2+2\right)^2-12 \left(-4 a^2+4 a-1\right)}+\frac{2 a^2}{3}-\frac{2 a}{3}+\frac{2 b^2}{3}-\frac{1}{3}\right)^{3/2}+4 b^2 \sqrt{\frac{1}{6} \sqrt{\left(-4 a^2+4 a-4 b^2+2\right)^2-12 \left(-4 a^2+4 a-1\right)}+\frac{2 a^2}{3}-\frac{2 a}{3}+\frac{2 b^2}{3}-\frac{1}{3}}-3 \sqrt{\frac{1}{6} \sqrt{\left(-4 a^2+4 a-4 b^2+2\right)^2-12 \left(-4 a^2+4 a-1\right)}+\frac{2 a^2}{3}-\frac{2 a}{3}+\frac{2 b^2}{3}-\frac{1}{3}}}{4 a b-2 b}\\y&=-\sqrt{\frac{1}{6} \sqrt{\left(-4 a^2+4 a-4 b^2+2\right)^2-12 \left(-4 a^2+4 a-1\right)}+\frac{2 a^2}{3}-\frac{2 a}{3}+\frac{2 b^2}{3}-\frac{1}{3}}\endled\]
通过ggb验证是对的。容易验证被开方式恒非负:
\[\left(-4 a^2+4 a-4 b^2+2\right)^2-12 \left(-4 a^2+4 a-1\right)=4 \left(2 a^2-2 a+2 b^2-1\right)^2+12 (2 a-1)^2\ge0\]\[\frac{1}{36} \left(\left(-4 a^2+4 a-4 b^2+2\right)^2-12 \left(-4 a^2+4 a-1\right)\right)-\left(\frac{2 a^2}{3}-\frac{2 a}{3}+\frac{2 b^2}{3}-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{3} (2 a-1)^2\ge0\]
因此只有两个截面与给定的△ABC全等
------------------
问题:
1.上面证明的"对于两两距离相等的三条平行线,只有两个截面与给定的△ABC全等",有没有几何解释?或者说几何作图的方法?
2.对于一般的三角形,如何判定有几个截面?

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