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请教傅立叶正反变换后还原怎么证明

如题,假设傅立叶正变换定义为
\[F(\omega)=\mathcal{F}(f(t))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\]
反变换定义为
\[f(t)=\mathcal{F}^{-1}(F(\omega))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega\]

现在想证明$f(t)=\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f(t)]]$,我是这样做的:
\begin{align*}
\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f(t)]]&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\right]e^{i\omega t'}d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\omega(t-t')}d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt\sqrt{2\pi}\delta(t-t')=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(t')
\end{align*}
请问是哪里出了问题?
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回复 1# abababa


\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega(t-t')}d\omega=2\pi\delta(t-t')\]

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回复 2# 战巡

谢谢,但我还是不懂,这个积分不是$1$的傅立叶变换吗,按1楼的定义,它的结果不应该是$\sqrt{2\pi}\delta(t-t')$吗?

我用Mathematica算的时候是这样的:
FourierTransform[1, w, t-t']

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本帖最后由 战巡 于 2020-4-5 12:02 编辑

回复 3# abababa


对啊,但按你1楼的定义
\[F(\omega)=\sqrt{2\pi}\delta(t-t')=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}1\cdot e^{-i\omega(t-t')}dt\]
不就有
\[\int_{-\infty}^{+\infty}1\cdot e^{-i\omega(t-t')}dt=2\pi\delta(t-t')\]

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回复 4# 战巡

谢谢,我终于明白了,我总是差那个系数忘了乘上去。

我在网上查了很多证明,最终都是依赖于这个$\delta$函数的,只是前面那个系数有区别。如果不通过$\delta$函数,要如何证明傅立叶正反变换后还原回函数本身这个问题呢?

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这是Brad Osgood教授的一本书上给出的“证明”, 不知道具不具备你要求的严格性,供你参考。

InverseFT

a.png
2020-4-13 11:48

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回复 6# 业余的业余

谢谢,这种方式以前看过,应该是一种定义傅立叶正反变换的方式,就是把那个级数按周期无穷的形式写出来,然后说里面的积分是正变换,外面的积分是反变换,或者交换正反变换。
但如果不这样从级数定义,而是直接给出一楼那样的积分定义,就是要证明$f(t)$经过两个积分后能还原回本身,也就是求证(避免符号冲突,当$f(t)$和$f(x)$是同一映射时):
\[f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\right]e^{i\omega x}d\omega\]
这样如果不依赖$\delta$函数,还能证明吗?

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我相信是走不通的,否则那么多作者为什么不走这显明的路呢?

手里有Walter Rudin 的泛函分析 (Functional Analysis), 我的水平离看这书还远。看了一下目录,有讲到Tempered Distribution 和 傅里叶变换, 我想它的证明一定达到了分析的严谨性。转过来供你参考。我的意思是真正要严谨的证明(那个用Dirac-$\delta$的我个人估计应该达不到分析的严谨性), 很可能需要勒贝格积分和复分析的基础。

a.png
2020-4-13 22:07

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