[几何] 等面三面角轨迹

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-4 23:58 编辑

(1)使P-ABC为等面三面角的点P的轨迹在平面ABC上的投影的轨迹

它过$X_4,X_{13},X_{14}$，设A(0,0)B(1,0)C(a,b)，则它的方程为
$-4 x^5 y a^7+4 b x^6 a^6-16 b x^4 y^2 a^6+2 x^5 y a^6+2 b x^6 a^5-24 b^2 x^3 y^3 a^5-2 b x^4 y^2 a^5+12 b^2 x^5 y a^5-2 x^5 y a^5+4 b^3 x^6 a^4-13 b x^6 a^4-16 b^3 x^2 y^4 a^4-20 b^2 x^3 y^3 a^4+8 b^3 x^4 y^2 a^4+9 b x^4 y^2 a^4+30 b^2 x^5 y a^4-\left(a^2+b^2-1\right) \left(-b x^2+2 a y x+b y^2\right) a^4-8 b^3 x^6 a^3+18 b x^6 a^3-4 b^4 x y^5 a^3-28 b^3 x^2 y^4 a^3-8 b^4 x^3 y^3 a^3+32 b^2 x^3 y^3 a^3+84 b^3 x^4 y^2 a^3-18 b x^4 y^2 a^3+16 b^4 x^5 y a^3-76 b^2 x^5 y a^3+2 x^5 y a^3+8 b^3 x^6 a^2-15 b x^6 a^2-14 b^4 x y^5 a^2-12 b^5 x^2 y^4 a^2+30 b^3 x^2 y^4 a^2+92 b^4 x^3 y^3 a^2-36 b^2 x^3 y^3 a^2+24 b^5 x^4 y^2 a^2-134 b^3 x^4 y^2 a^2+19 b x^4 y^2 a^2-24 b^4 x^5 y a^2+72 b^2 x^5 y a^2-2 x^5 y a^2+2 \left(4 x^2 y a^5-3 b x^3 a^4+6 b x y^2 a^4-2 x^2 y a^4+2 b x^3 a^3+2 b^2 y^3 a^3-3 b x y^2 a^3+2 x^2 y a^3-3 b^3 x^3 a^2-b^2 y^3 a^2+5 b^3 x y^2 a^2+b x y^2 a^2-4 x^2 y a^2+2 b^3 x^3 a+b x^3 a+2 b^4 y^3 a-3 b^3 x y^2 a-2 b x y^2 a-4 b^4 x^2 y a+4 b^2 x^2 y a-b^3 x^3-b^4 y^3-b^5 x y^2+2 b^3 x y^2+2 b^4 x^2 y-b^2 x^2 y\right) a^2-4 b^3 x^6 a+4 b x^6 a-2 b^5 y^6 a-4 b^6 x y^5 a+10 b^4 x y^5 a+42 b^5 x^2 y^4 a-22 b^3 x^2 y^4 a+16 b^6 x^3 y^3 a-92 b^4 x^3 y^3 a+24 b^2 x^3 y^3 a-24 b^5 x^4 y^2 a+82 b^3 x^4 y^2 a-12 b x^4 y^2 a+16 b^4 x^5 y a-38 b^2 x^5 y a+4 x^5 y a+b^3 x^6+b^5 y^6+6 b^6 x y^5-4 b^4 x y^5+4 b^7 x^2 y^4-21 b^5 x^2 y^4+8 b^3 x^2 y^4-8 b^6 x^3 y^3+28 b^4 x^3 y^3-8 b^2 x^3 y^3+8 b^5 x^4 y^2-21 b^3 x^4 y^2+4 b x^4 y^2-4 b^4 x^5 y+6 b^2 x^5 y-b^2 y^3 \left(20 x a^5+4 x a^4+4 b y a^4+12 b^2 x a^3-12 x a^3+2 b y a^3+4 x a^2+3 b^3 y a^2-2 b y a^2-8 b^4 x a-4 b^2 x a+4 b^4 x-b^5 y\right)+2 x (a x+b y) (a x-x+b y) \left(2 x y a^2-2 b x^2 a+2 b y^2 a-2 x y a+b x^2-b y^2-2 b^2 x y+2 x y\right) \left(a^2 x^2-a x^2+x^2+2 a b y x-b y x+b^2 y^2\right)-x^2 \left(12 x y a^7-13 b x^2 a^6+28 b y^2 a^6-4 x y a^6+14 b x^2 a^5-2 b y^2 a^5-20 b^2 x y a^5-13 b^3 x^2 a^4-10 b x^2 a^4+2 b^3 y^2 a^4-12 b y^2 a^4+20 b^2 x y a^4+4 x y a^4+16 b^3 x^2 a^3+10 b x^2 a^3+6 b^3 y^2 a^3+10 b y^2 a^3-32 b^4 x y a^3-8 b^2 x y a^3-12 x y a^3-12 b^3 x^2 a^2-26 b^5 y^2 a^2-6 b^3 y^2 a^2-8 b y^2 a^2+32 b^4 x y a^2+16 b^2 x y a^2+4 b^3 x^2 a+20 b^5 y^2 a+8 b^3 y^2 a-16 b^4 x y a-4 b^2 x y a-b^3 x^2-a^2 b x^2-6 b^5 y^2+4 b^4 x y\right)+2 \left(5 x^4 y a^7-6 b x^5 a^6+16 b x^3 y^2 a^6-3 x^4 y a^6+6 b x^5 a^5+18 b^2 x^2 y^3 a^5-4 b x^3 y^2 a^5-15 b^2 x^4 y a^5+4 x^4 y a^5-6 b^3 x^5 a^4-3 b x^5 a^4+8 b^3 x y^4 a^4+2 b^2 x^2 y^3 a^4-8 b^3 x^3 y^2 a^4+6 b x^3 y^2 a^4+5 b^2 x^4 y a^4-4 x^4 y a^4+10 b^3 x^5 a^3+b x^5 a^3+b^4 y^5 a^3+4 b^3 x y^4 a^3+6 b^4 x^2 y^3 a^3+2 b^2 x^2 y^3 a^3-14 b^3 x^3 y^2 a^3-10 b x^3 y^2 a^3-20 b^4 x^4 y a^3+10 b^2 x^4 y a^3+3 x^4 y a^3-9 b^3 x^5 a^2+3 b x^5 a^2+b^4 y^5 a^2+6 b^5 x y^4 a^2-20 b^4 x^2 y^3 a^2-8 b^2 x^2 y^3 a^2-24 b^5 x^3 y^2 a^2+29 b^3 x^3 y^2 a^2+8 b x^3 y^2 a^2+26 b^4 x^4 y a^2-9 b^2 x^4 y a^2-5 x^4 y a^2+4 b^3 x^5 a+b^6 y^5 a-8 b^5 x y^4 a-2 b^3 x y^4 a-12 b^6 x^2 y^3 a+20 b^4 x^2 y^3 a+4 b^2 x^2 y^3 a+22 b^5 x^3 y^2 a-17 b^3 x^3 y^2 a-4 b x^3 y^2 a-16 b^4 x^4 y a+9 b^2 x^4 y a-b^3 x^5-a b x^5-b^6 y^5-2 b^7 x y^4+4 b^5 x y^4+6 b^6 x^2 y^3-7 b^4 x^2 y^3-7 b^5 x^3 y^2+6 b^3 x^3 y^2+4 b^4 x^4 y-2 b^2 x^4 y\right)=0$

hbghlyj

2^#

发表于 2020-4-1 13:24 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-5 23:42 编辑

(2)等面四面体的旋转对称轴与平面ABC的交点的轨迹方程未知

这就是完整的曲线了，但有两个端点X,Y未知，从端点X会跳到点A，u趋于无穷会到端点Y

等面三面角轨迹2.ggb (12.14 KB)
猜测它在A点的切线是角平分线

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hbghlyj

3^#

发表于 2020-4-30 23:45 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-4 23:12 编辑

A(0,0,0)B(1,0,0)C(a,b,0)，$t=\cos^2\theta$，则P(x,y,z)满足方程组
\[\led\frac{\left((x-1) x+y^2+z^2\right)^2}{\left((1-x)^2+y^2+z^2\right) \left(x^2+y^2+z^2\right)}=t\\\frac{\left((x-1) (x-a)+y (y-b)+z^2\right)^2}{\left((1-x)^2+y^2+z^2\right) \left((x-a)^2+(y-b)^2+z^2\right)}=t\\\frac{\left(x (x-a)+y (y-b)+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right) \left((x-a)^2+(y-b)^2+z^2\right)}=t\endled\]
消去z,t就得到曲线(1)的方程.

Resultant[((-1 + x) x + y^2 + z^2)^2 ((-a + x)^2 + (-b + y)^2 +
z^2) - (x^2 + y^2 +
z^2) ((-1 + x) (-a + x) + y (-b + y) + z^2)^2, ((-1 + x) x +
y^2 + z^2)^2 ((-a + x)^2 + (-b + y)^2 + z^2) - ((1 - x)^2 +
y^2 + z^2) (x (-a + x) + y (-b + y) + z^2)^2, z]

复制代码

等面三面角.ggb (30.67 KB)
令人惊喜的发现：
eq1最多有五条渐近线,$X_3$在eq1上且是它的三条渐近线的交点

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hbghlyj

4^#

发表于 2020-5-4 23:45 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-5 13:22 编辑

渐近线的无穷远点的齐次坐标为(x,1,0)，$x=0,-\frac ba,\frac b{1-a},\alpha,\beta$，其中$\alpha,\beta$为方程\[(2 a -1)bx^2+x \left(-2 a^2+2 a+2 b^2-2\right)-(2 a-1) b=0\]的根.由于$\alpha\beta=-1$，对应于图中两条垂直的渐近线.这也说明了方程有两个实根.
两条垂直渐近线的交点是$X_{671}$

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hbghlyj

5^#

发表于 2020-5-6 17:24 | 只看该作者

等面三面角.ggb (33.65 KB)
五条渐近线的身份到今天为止全部确定了！
其中三条是三角形的三边的中垂线。
另外两条是$X_4X_{542}$和$X_{30}X_{98}$的两条角平分线，它们的交点是$X_{671}$。也就是说，它们平行于三角形的欧拉线和第一布洛卡三角形的欧拉线的两条角平分线。
通过简单的计算可以说明这一点
欧拉线的无穷远点的三线坐标bc[2a4 - (b2 - c2)2 - a2(b2 + c2)] :
布洛卡三角形的欧拉线的无穷远点的三线坐标(2ax - by - cz)/a :

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力工

6^#

发表于 2020-5-6 19:43 | 只看该作者

好难，表示看不懂。伏了也服了高手。

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