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[几何] 关于重心的问题

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-3-29 13:27 编辑

对于三点A,B,C,存在点D,G为四点A,B,C,D的重心,满足
\[2AG=\sqrt[4]{(BC^2+CD^2+DB^2)^2-48 S_{\triangle BCD}^2}\]\[2BG=\sqrt[4]{(CD^2+DA^2+AC^2)^2-48 S_{\triangle ACD}^2}\]\[2CG=\sqrt[4]{(AB^2+BD^2+DA^2)^2-48 S_{\triangle ABD}^2}\]\[2DG=\sqrt[4]{(AB^2+BC^2+CA^2)^2-48 S_{\triangle ABC}^2}\]
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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-3-29 22:51 编辑

这样的点D存在两个,关于$\triangle ABC$的重心对称,如图中的四条曲线是交于两点的
几何2020.3.29.jpg
2020-3-29 13:28

几何2020.3.29.ggb (25.28 KB)

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回复 2# hbghlyj

大神厉害!这四个式子预计可以怎么应用?

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-3-30 14:40 编辑

我发现(未证明)$D,E,X_2,X_{1340},X_{1349}$共线,其中$X_{1340}$是外接圆与布洛卡圆的内相似心,$X_{1349}$是外接圆与九点圆的外相似心。关于三角形特征点的介绍参见ETC
几何2020.3.29.jpg
2020-3-30 12:13

(图中的G是ABC的重心$X_2$,与1#2#用的符号不同,2#的G是ABCD的重心)
几何2020.3.29探索.ggb (23.34 KB)

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事实上,A,B,C,D或A,B,C,E是正四面体的四个顶点在平面上的投影.
我在Euclid小组上提问了.
César E. Lozada让我去读ETC的Tetrahedral projections: X(40236) - X(40296)部分,大概是说,
设ABC为平面XY上的三角形。考虑三个长度分别为U,V,W的线段AA',BB',CC',每个线段有一个端点分别固定在A,B和C,另一个端点可以在空间中自由移动。假设这些线段围绕它们的固定端点旋转,使得它们的自由端点在点D处重合,并与ABC的三边一起形成四面体ABCD的六棱。令D为D在ABC平面上的正交投影。点D在这里被称为ABC的Tetrahedral projection(U,V,W)或ABC到A'B'C'的Tetrahedral projection.

后面,是A',B',C'取各种central triangle的列举.
但这个和我的问题有何联系呢?没懂
而且,这段话中用了两个D,代表不同的意思,似乎字母重复了.也不知道,这个是否为作者故意为之.

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