$f(x)>g(x)即x\ln x-a\sin x+1>0\\
令h(x)=x\ln x-a\sin x+1\\
当x>=1时易证结论成立(x\ln x>=0,-a\sin x>=-1)\\
则当0<x<1时,h'(x)=\ln x+1-a\cos x(可证其递增)\\
所以存在x_0\in(0,1)使h'(x_0)=0即\ln x_0+1-a\cos x_0=0\\
在x_0处h(x)_{min}=x_0\ln x_0-a\sin x_0+1=a(x_0\cos x_0-\sin x_0)+(1-x_0)\\
因x_0\in(0,1) 时,x_0\cos x_0-\sin x_0<0 则a\in[-1,0]时,h(x)_{min}>0 得证\\
当a\in(0,1]时,h(x)_{min}=x_0\ln x_0-a\sin x_0+a\cos x-\ln x_0=(x_0-1)\ln x_0+a(\cos x_0-\sin x_0)>0\\
综上-1\le a\le 1,f(x)>g(x). $
做起来累,打上来更累。 |