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[几何] 来自讨论组的垂足三角形外接圆半径

**寒,**珊 10:42:36
高线的垂足形成的三角形,其外接圆半径与原三角形外接圆半径有什么关系吗?

kuing 15:27:17
两倍关系
QQ图片20200308163323.png
2020-3-8 16:35

\[2R_{\triangle ABC}=\frac{BC}{\sin A}, 2R_{\triangle DEF}=\frac{EF}{\sin\angle EDF},\]故
\[\frac{R_{\triangle ABC}}{R_{\triangle DEF}}=\frac{BC}{EF}\cdot\frac{\sin\angle EDF}{\sin A}=\frac{AB}{AE}\cdot\frac{\sin(\pi-2A)}{\sin A}=\frac{\sin 2A}{\cos A\sin A}=2.\]
kuing 15:46:22
我发现好像小圆圆心在大圆圆心和垂心的中点上
kuing 16:01:33
哦,想起了九点圆,三垂足和三中点共圆,所以显然就是两倍关系了[笑哭]
QQ图片20200308163514.png
2020-3-8 16:35
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本帖最后由 乌贼 于 2020-3-8 18:23 编辑

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性质1

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回复 2# 乌贼

嗯,我后来也想起来了九点圆

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