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青青子衿

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tT
发表于 2020-3-3 10:25 | 只看该作者

[几何] 三角形角三等分线长度

本帖最后由 青青子衿 于 2020-3-3 11:13 编辑

已知三角形\(\triangle\,\!ABC\)三边长度\(|BC|=a\), \(|AC|=b\), \(|AB|=c\);
作角\(\angle\,\!A\)的两条三等分线\(AD\)与\(AE\)分别交\(BC\)于点\(D\)与点\(E\),
点\(D\)靠近点\(B\), 点\(E\)靠近点\(C\), 并记\(|AD|=u_a\),\(|AE|=v_a\).
求长度\(u_a\)关于三边长\(\,a\),\(b\),\(c\,\)的方程，以及长度\(v_a\)关于三边长\(\,a\),\(b\),\(c\,\)的方程.
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色k

2#
发表于 2020-3-3 14:00 | 只看该作者
原来昨天在群里面我理解错了，以为你说的三等分是在边上[笑哭]
嘛，看群总是不及看论坛那么认真[小纠结]

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kuing

3#
发表于 2020-3-3 15:09 | 只看该作者
不难求出
\begin{align*}
AD&=\frac{bc\sin A}{b\sin\frac{2A}3+c\sin\frac A3},\\
AE&=\frac{bc\sin A}{b\sin\frac A3+c\sin\frac{2A}3},
\end{align*}若记 `x=\cos(A/3)`，则进一步化简为
\begin{align*}
AD&=\frac{bc(4x^2-1)}{2bx+c},\\
AE&=\frac{bc(4x^2-1)}{b+2cx},
\end{align*}又
\[b^2+c^2-a^2=2bc\cos A=2bc(4x^3-3x),\]与以上两式消去 `x` 整理即得
\begin{align*}
\frac{a^2b^2-(b^2-c^2)^2}{bc^2}AD^3+3a^2AD^2-16S^2&=0,\\
\frac{a^2c^2-(b^2-c^2)^2}{b^2c}AE^3+3a^2AE^2-16S^2&=0,
\end{align*}其中 `S` 为面积。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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青青子衿

4#
发表于 2020-3-4 14:37 | 只看该作者
本帖最后由 青青子衿 于 2020-3-4 14:39 编辑

回复 3# kuing
不难求出
\begin{align*}
AD&=\frac{bc\sin A}{b\sin\frac{2A}3+c\sin\frac A3},\\
AE&=\frac{bc\sin A}{b\sin\frac A3+c\sin\frac{2A}3},
\end{align*}
kuing 发表于 2020-3-3 15:09

24532404143509.png
2020-3-4 14:36
  1. \documentclass[tikz,border=4mm]{standalone}
  2. \usepackage{tkz-euclide}
  3. \usetkzobj{all}
  4. \usetikzlibrary{calc,shadows.blur}
  5. \begin{document}
  6. \begin{tikzpicture}
  7. \coordinate (A) at (5*0.2,5*1.1);
  8. \coordinate (B) at (0,0);
  9. \coordinate (C) at (5*1.7,0);

  11. \node [inner sep=2pt,label=left:$c$] (c) at ($ (A)!.5!(B) $) {};
  12. \node [inner sep=2pt,label=below:$b$] (b) at ($ (A)!.35!(C) $) {};
  13. \draw[thin,black,densely dashed](0,-1.2)--(B)(5*1.7,-1.2)--(C);
  14. \draw[thin,stealth-stealth](0,-0.7)--++(5*1.7,0)node[fill=white,midway]{$a$};

  16. \tkzFindAngle(B,A,C) \tkzGetAngle{at}

  18. \coordinate (D) at ($(A)!6cm!\at/3:(B)$);
  19. \tkzInterLL(A,D)(B,C)\tkzGetPoint{D}
  20. \draw (D) node[below]{$D$};
  21. \coordinate (E) at ($(A)!6cm!2*\at/3:(B)$);
  22. \tkzInterLL(A,E)(B,C)\tkzGetPoint{E}
  23. \draw (E) node[below]{$E$};
  24. \node [inner sep=1pt,label=left:$\color{red}{u}$] (p) at ($ (A)!.57!(D) $) {};
  25. \node [inner sep=1pt,label=left:$\color{blue}{v}$] (q) at ($ (A)!.55!(E) $) {};


  28. \begin{scope}[thin]
  29. \clip(B)--(A)--(D);
  30. \draw[fill=gray!20!white,semithick](A)circle(5mm);
  31. \draw[semithick](A)circle(5.8mm);
  32. \node (I) [label=-90:$\theta$,outer sep=15pt] at (A) {};
  33. \end{scope}

  35. \begin{scope}[thin]
  36. \clip(D)--(A)--(E);\draw[fill=gray!20!white,semithick](A)circle(5.4mm);
  37. \node (J) [label=-80:$\theta$,outer sep=13pt] at (A) {};
  38. \end{scope}

  40. \begin{scope}[thin]
  41. \clip(C)--(A)--(E);\draw[fill=gray!20!white,semithick](A)circle(5mm);
  42. \draw[semithick](A)circle(5.6mm);\draw[semithick](A)circle(6.2mm);
  43. \node (K) [label=-47:$\theta$,outer sep=9pt] at (A) {};
  44. \end{scope}

  46. \draw[thick,red] (A)--(D);
  47. \draw[thick,blue] (A)--(E);

  49. \draw[thick] (A) node[above]{$A$}--
  50.   (B) node[left]{$B$}--
  51.   (C) node[right]{$C$}--(A);

  53. \node[fill=yellow!80,blur shadow={shadow xshift=-0.5ex},
  54.     text width=20em,anchor=south west,rounded corners] at
  55.     ([xshift=3em]b.east)
  56.     {\[{\color{magenta}{16S^2}}=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\]
  57.     \[\frac{a^2b^2-(b^2-c^2)^2}{bc^2}\textcolor{red}{u}^3+3a^2\textcolor{red}{u}^2-{\color{magenta}{16S^2}}=0\]
  58.     \[\frac{a^2c^2-(b^2-c^2)^2}{b^2c}\textcolor{blue}{v}^3+3a^2\textcolor{blue}{v}^2-{\color{magenta}{16S^2}}=0\]
  59.     ~};
  60. \end{tikzpicture}
  61. \end{document}
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