[函数] f(x)=xe^2x,f(a)=f(b),证明：e^2a+e^2b>=2/e

本帖最后由依然饭特稀于 2020-2-29 19:02 编辑

360截图20200229190002417.jpg

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色k

2^#

发表于 2020-3-1 22:41 | 只看该作者

令 `2a = \ln t`, `2b = \ln u`，则变成 `g(x) = x\ln x`, `g(t) = g(u)`, `t\ne u`，求证 `t + u \geqslant 2/e`，这个用常规方法应该没问题吧？

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依然饭特稀

3^#

发表于 2020-3-2 01:37 | 只看该作者

本帖最后由依然饭特稀于 2020-3-2 07:54 编辑

原题是这样的，陷入第三问得到的a+b<-1,去证明了

。

21E1EBF3DF3497502E68DA06511B77A7.jpg (36.36 KB)

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依然饭特稀

4^#

发表于 2020-3-2 01:39 | 只看该作者

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player1703

5^#

发表于 2020-3-3 00:48 | 只看该作者

本帖最后由 player1703 于 2020-3-3 00:55 编辑

回复 3# 依然饭特稀
由$a+b<-1$ 得:
$e^{2a}+e^{2b} = (e^a)^2+(e^b)^2 >= 2e^ae^b = 2e^{a+b} >2e^{-1}$
如果$a$, $b$可以是两个相等的实根$a=b=-\frac{1}{2}$时取等号, 就得到了标题的结论.

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player1703

6^#

发表于 2020-3-3 01:57 | 只看该作者

回复 5# player1703

不好意思搞错了

最后一步是$2e^{a+b}<2e^{-1}$所以行不通。。。

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战巡

7^#

发表于 2020-3-3 04:03 | 只看该作者

回复 3# 依然饭特稀

在已知$a+b<-1$的情况下还是很容易的

我们令$f(a)=f(b)=y$，令$a=f_1^{-1}(y), b=f_2^{-1}(y)$分别为递减段和递增段的反函数
则会有
\[\frac{da}{dy}=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{e^{2a}(1+2a)}\]
同理
\[\frac{db}{dy}=\frac{1}{e^{2b}(1+2b)}\]
然后
\[\frac{d}{dy}[e^{2a}+e^{2b}]=2e^{2a}\frac{da}{dy}+2e^{2b}\frac{db}{dy}\]
\[=\frac{2e^{2a}}{e^{2a}(1+2a)}+\frac{2e^{2b}}{e^{2b}(1+2b)}\]
\[=\frac{2}{1+2a}+\frac{2}{1+2b}=\frac{4(a+b+1)}{(1+2a)(1+2b)}\]
易证$a<-\frac{1}{2}<b<0$，加上$a+b+1<0$的话，会有
\[\frac{d}{dy}[e^{2a}+e^{2b}]=\frac{4(a+b+1)}{(1+2a)(1+2b)}>0\]
也就是这整个东西对$y$递增，那当然在$y$最小时，也就是$y=-\frac{1}{2e}$时取最小值，此时$a=b=-\frac{1}{2}$

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依然饭特稀