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[几何] 出个向量题

本帖最后由 战巡 于 2020-2-13 02:43 编辑

别人问的,我没啥好办法,做的非常复杂,看大家有没有简单的办法

之前漏写了个条件,没有定义$C$点,这里改掉好了

圆$O$半径为5,点$A: (2,1)$,$B, D$为圆$O$上点,且$<\vec{AB}, \vec{AD}>=60\du$,求$|\vec{AB}+\vec{AD}|$最小值
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回复 1# 战巡

战巡大佬,不好算。这题应该是$90\du $夹角的改编,垂直还是很好算的。

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本帖最后由 乌贼 于 2020-2-12 23:10 编辑

两园相切,$ \angle MAB_1\leqslant \angle MNB_1=\angle C_1AB_1=60\du\riff B_1M\leqslant B_1C_1  $(当且仅当$ B_1 $与$ B $重合即$ M、C_1、C $三点重合时取得)
211.png
2020-2-12 23:07

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几何法看不懂,来个代数法,搞下一般情况,希望没问题:

设 `A(0,0)`,圆的方程为 `(x+m)^2+y^2=m^2+n^2`, `m>0`, `n>0`(这样可以确保 `A` 在圆内且圆心在其左边),点 `B`, `D` 在圆上且 `\angle BAD` 为定值。

设 `AB=a`, `AD=b`, `\angle BAD=2\theta`, `\theta\in(0,\pi/2)`,则可设 `B\bigl(a\cos(t-\theta),a\sin(t-\theta)\bigr)`, `D\bigl(b\cos(t+\theta),b\sin(t+\theta)\bigr)`,把 `B` 代入圆中有
\[\bigl(a\cos(t-\theta)+m\bigr)^2+a^2\sin^2(t-\theta)=m^2+n^2,\]解得
\[a=-m\cos(t-\theta)+\sqrt{m^2\cos^2(t-\theta)+n^2},\]同理
\[b=-m\cos(t+\theta)+\sqrt{m^2\cos^2(t+\theta)+n^2},\]则
\begin{align*}
a+b&=-2m\cos t\cos\theta+\sqrt{m^2\cos^2(t-\theta)+n^2}+\sqrt{m^2\cos^2(t+\theta)+n^2}\\
&\geqslant-2m\cos t\cos\theta+\sqrt{\bigl(m\cos(t-\theta)+m\cos(t+\theta)\bigr)^2+(n+n)^2}\\
&=-2m\cos t\cos\theta+2\sqrt{m^2\cos^2t\cos^2\theta+n^2},
\end{align*}上式分子有理化后可知当 `\cos t=1` 时最小,故
\[a+b\geqslant-2m\cos\theta+2\sqrt{m^2\cos^2\theta+n^2},\]所以
\begin{align*}
\bigl(\vv{AB}+\vv{AD}\bigr)^2&=a^2+b^2+2ab\cos2\theta\\
&\geqslant\frac{1+\cos2\theta}2(a+b)^2\\
&\geqslant\frac{1+\cos2\theta}2\bigl( -2m\cos\theta+2\sqrt{m^2\cos^2\theta+n^2} \bigr)^2\\
&=4\cos^2\theta\bigl( -m\cos\theta+\sqrt{m^2\cos^2\theta+n^2} \bigr)^2,
\end{align*}所以
\[
\bigl|\vv{AB}+\vv{AD}\bigr|\geqslant2\cos\theta\bigl( -m\cos\theta+\sqrt{m^2\cos^2\theta+n^2} \bigr),
\]当 `t=0` 时取等。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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作平行四边形 `ABCD` 的话,`C` 的轨迹可是很复杂嘀,特别是 `\angle BAC` 为钝角时,可以是这样的绕:
hntjtj.gif
2020-2-13 17:13

由此可以预见最大值将会复杂得多,不敢玩了……
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回复 4# kuing
我搞错了。

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-2-15 12:55 编辑

我对这个轨迹感兴趣。它不是蜗线蚶线。可能与这贴是一个东西?
交于原点的两圆之积会产生这种曲线
hbghlyj 发表于 2019-8-20 23:44

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