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几何表达式Geometry Expression

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-2-10 11:57 编辑

特点1.有两种作图模式:"输入约束constraints"及"构造式作图construction".所谓输入约束比较适合于几何探索,比如作一个三角形的内切圆,如果你不会尺规作图,也不知道什么是角平分线,完全可以作一个自由的圆,然后分别与三边添加"相切"约束,就自动作出来了,调整圆心的位置就能自动得到旁切圆。
2.能输入、输出几何表达式,这也是"输入约束"的结果,还能复制为各种格式,还能“发送到Mathematica”
下面利用几何表达式探究与两个圆相切的圆的圆心的轨迹方程。设给定的圆的圆心为(0,0)(a,0),半径为r,s,用几何表达式求出"参数化方程式"
第一种:与两圆均内切
第一段:圆心在上方:$\left (\begin{array}{l}X=\dfrac{a^{2}+(r-t)^{2}-(-s+t)^{2}}{2\cdot a}\\Y=\dfrac{\sqrt{r+s-2\cdot t+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s-\left |a\right |}\cdot \sqrt{-r-s+2\cdot t+\left |a\right |}}{2\cdot a}\end{array}\right )$,参数t是圆的半径
"隐式方程式"$-a^{4}+4\cdot Y^{2}\cdot r^{2}+2\cdot a^{2}\cdot r^{2}-r^{4}-8\cdot Y^{2}\cdot r\cdot s-4\cdot a^{2}\cdot r\cdot s+4\cdot r^{3}\cdot s+4\cdot Y^{2}\cdot s^{2}+2\cdot a^{2}\cdot s^{2}-6\cdot r^{2}\cdot s^{2}+4\cdot r\cdot s^{3}-s^{4}+X^{2}\cdot \left (-4\cdot a^{2}+4\cdot r^{2}-8\cdot r\cdot s+4\cdot s^{2}\right )+X\cdot \left (4\cdot a^{3}-4\cdot a\cdot r^{2}+8\cdot a\cdot r\cdot s-4\cdot a\cdot s^{2}\right )=0$
QQ图片20200123152407.gif
2020-2-10 11:37

QQ图片20200123152407.gif
2020-2-10 11:46

第二段:圆心在下方:$\left (\begin{array}{l}X=\dfrac{a^{2}+(r-t)^{2}-(-s+t)^{2}}{2\cdot a}\\Y=\dfrac{-\sqrt{r+s-2\cdot t+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s-\left |a\right |}\cdot \sqrt{-r-s+2\cdot t+\left |a\right |}}{2\cdot a}\end{array}\right )$
$-a^{4}+4\cdot Y^{2}\cdot r^{2}+2\cdot a^{2}\cdot r^{2}-r^{4}-8\cdot Y^{2}\cdot r\cdot s-4\cdot a^{2}\cdot r\cdot s+4\cdot r^{3}\cdot s+4\cdot Y^{2}\cdot s^{2}+2\cdot a^{2}\cdot s^{2}-6\cdot r^{2}\cdot s^{2}+4\cdot r\cdot s^{3}-s^{4}+X^{2}\cdot \left (-4\cdot a^{2}+4\cdot r^{2}-8\cdot r\cdot s+4\cdot s^{2}\right )+X\cdot \left (4\cdot a^{3}-4\cdot a\cdot r^{2}+8\cdot a\cdot r\cdot s-4\cdot a\cdot s^{2}\right )=0$
第二种:与大圆内切,与小圆外切
第一段:$\left (\begin{array}{l}X=\dfrac{a^{2}+(r-t)^{2}-(s+t)^{2}}{2\cdot a}\\Y=\dfrac{\sqrt{r+s+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r+s-\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s-2\cdot t+\left |a\right |}\cdot \sqrt{-r+s+2\cdot t+\left |a\right |}}{2\cdot a}\end{array}\right )$
$-a^{4}+4\cdot Y^{2}\cdot r^{2}+2\cdot a^{2}\cdot r^{2}-r^{4}+8\cdot Y^{2}\cdot r\cdot s+4\cdot a^{2}\cdot r\cdot s-4\cdot r^{3}\cdot s+4\cdot Y^{2}\cdot s^{2}+2\cdot a^{2}\cdot s^{2}-6\cdot r^{2}\cdot s^{2}-4\cdot r\cdot s^{3}-s^{4}+X^{2}\cdot \left (-4\cdot a^{2}+4\cdot r^{2}+8\cdot r\cdot s+4\cdot s^{2}\right )+X\cdot \left (4\cdot a^{3}-4\cdot a\cdot r^{2}-8\cdot a\cdot r\cdot s-4\cdot a\cdot s^{2}\right )=0$
QQ图片20200123152407.gif
2020-2-10 11:51

第二段:$-a^{4}+4\cdot Y^{2}\cdot r^{2}+2\cdot a^{2}\cdot r^{2}-r^{4}-8\cdot Y^{2}\cdot r\cdot s-4\cdot a^{2}\cdot r\cdot s+4\cdot r^{3}\cdot s+4\cdot Y^{2}\cdot s^{2}+2\cdot a^{2}\cdot s^{2}-6\cdot r^{2}\cdot s^{2}+4\cdot r\cdot s^{3}-s^{4}+X^{2}\cdot \left (-4\cdot a^{2}+4\cdot r^{2}-8\cdot r\cdot s+4\cdot s^{2}\right )+X\cdot \left (4\cdot a^{3}-4\cdot a\cdot r^{2}+8\cdot a\cdot r\cdot s-4\cdot a\cdot s^{2}\right )=0$

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-2-10 12:03 编辑

有很多情形。已知的两圆的位置关系可以是内含、内切、相交、外切、外离,都会影响轨迹的。根据圆与已知圆内切或外切应该是以已知圆圆心为焦点的两个椭圆?大雾

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回复 1# hbghlyj
疑问:为什么程序给出的a是带绝对值的?

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